Kotni moment: definicija, enačba, enote (z diagrami in primeri)

Razmislite o sceni: Vi in prijatelj zaradi težav, na katere ne morete vplivati, stojite na vrhu dolge, navzdol nagnjene klančine. Vsak od vas je dobil žogo s polmerom natanko 1 m. Povedali so vam, da je vaš izdelan iz enakomernega, penastim materialom in mase 5 kg. Tudi masa vašega prijatelja je 5 kg, kar preverite s priročno tehtnico.

Vaš prijatelj vas želi staviti, da če boste hkrati izpustili dve žogici, bo vaša najprej prišla do dna. Zamikate, da bi trdili, da bodo, ker imajo kroglice enako maso in enak polmer (in s tem prostornino), gravitacijsko pospešene po klančini do enake hitrosti skozi spust. Nekaj ​​pa ustavi vaš "zagon" in ne boste stavili ...

... modro, kot se je izkazalo. Čeprav sprva nima smisla, se žoga vašega prijatelja, po videzu dvojčka, premakne po klančini počasneje kot vaša. Po končanem poskusu zahtevate, da se kroglice razstavijo in pregledajo, ali obstajajo znaki zvijače. Namesto tega najdete le to, da je bilo 5 kg mase v kroglici vašega prijatelja zaprto v tanko lupino okoli zunanje strani, v notranjosti pa votlo.

Kaj pa zgoraj opisana konfiguracija nagne vrednost v v prid vaši žogi? Kot se zgodi, tako kotsilespremenitelinearni zagonpredmetov zlinearna hitrost​, ​navorspremenitekotni momentpredmetov zkotna hitrost​.

Togi kotalni predmet ima tako linearni kot kotni moment, ker se njegovo masno središče premika s konstantno hitrostjo v (enako do tangencialne hitrosti krogle ali kolesa) se vsak drugi del predmeta vrti okoli tega masnega središča s kotno hitrostjo ω.

Kako se masa porazdeli znotraj predmeta, nima nobenega vpliva na njegov linearni moment, ampak odlično določa njegov kotni moment. To stori s pomočjo "masi podobne" (za rotacijske namene) količine, imenovane moment vztrajnosti, višje vrednosti kar pomeni več težav pri vrtenju in več težav pri zaustavitvi, ko je že vrtenje.

Kotni moment je merilo, kako težko je spremeniti rotacijsko gibanje predmeta. Odvisno je od vztrajnostnega trenutka predmeta in njegove kotne hitrosti. Kotni moment je ohranjena količina, kar pomeni, da je vsota kotnih momentov delcev v zaprtem sistemu vedno enaka, tudi kot lahko posamezni delci nihajo.

Kot je navedeno, je kotni moment tudi funkcija porazdelitve mase okoli osi. Če želite to dobiti intuitivno, si predstavljajte, da stojite 1 čevelj od središča ogromne vrtiljake, ki naredi 10 vrtljajev na 10 sekund. Zdaj pa si predstavljajte, da stojite na istem izumu z enako kotno hitrostjo 1miljood centra. Razlika v kotnem momentu v teh dveh scenarijih ne zahteva veliko domišljije.

​Kotni moment je zmnožek vztrajnostnega trenutka, pomnožen z njegovo kotno hitrostjo, ali:
​

kjeL= kotni moment v kg ∙ m²/s,jaz= vztrajnostni moment v kg ∙ m²in ω = kotna hitrost v radianih na sekundo (rad / s).

• ​jazse imenuje tudi drugi moment površine.

Upoštevajte, da se je razprava iz točkovne mase razširila na trdno telo, na primer valj ali kroglo, ki se vrti okoli osi. Središče mase predmeta pogosto ni v njegovem središčugeometrijskasredišče, torej vrednostijazodvisni od načina porazdelitve mase predmeta. Pogosto je to simetrično, vendar ne enakomerno, na primer votli disk z vso maso na zunanji strani v tankem traku (z drugimi besedami, obroč).

Vektor kotnega momenta kaže vzdolž osi vrtenja, pravokotno na ravnino, ki jo tvorir, krožni "pometanje" katere koli točke v objektu skozi vesolje.

Referenčni grafikon za vrednostjazza različne pogoste oblike najdete v virih. Uporabite jih za začetek nekaterih osnovnih problemov kotnega momenta.

• Upoštevajte tojazza sferično lupino je (2/3) mr² medtem ko je krogla (2/5) mr². Če se vrnemo k stavi v uvodu, lahko zdaj vidite, da ima žoga vašega prijatelja (2/3) / (2/5) = 1,67-krat vztrajnostni trenutek kot vašega, kar pojasnjuje vašo zmago v "dirki".

1. Disk z rotacijsko vztrajnostjojaz1,5 kg ∙ m²/ s se vrti okoli osi s kotno hitrostjoωod 8 rad / s. Kakšen je njegov kotni zagonL​?

2. Tanka palica dolga 15 m z maso 5 kg - recimo kazalka masivne ure - se s kotno hitrostjo vrti okoli točke, pritrjene na enem koncuωod 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Kolikšen je njen kotni momentL​?

Tokrat morate poiskati vrednostjaz. Za tanko palico, ki se premika na ta način,jaz= (1/3) mr²​.

Primerjajte to z odgovorom v prvem primeru. Vas to preseneča? Zakaj ali zakaj ne?

"Ohranjanje" v fiziki pomeni nekaj nekoliko drugačnega kot na področju ekosistemov. To preprosto pomeni, da je skupna količina ohranjenih količin (energija, zagon, masa in vztrajnost ohranjene količine "velike četverke" v fiziki) v sistemu, vključno z vesoljem, vedno ostane enako. Če poskušate "odpraviti" energijo, se ta preprosto pokaže v drugi obliki in vsak poskus "ustvarjanja" temelji na že obstoječem viru.

Zakon o ohranjanju kotnega momenta določa, da se v zaprtem sistemu skupni kotni moment ne more spremeniti. Ker je kotni moment odvisen od kotne hitrosti in vztrajnostnega momenta, lahko napovemo, kako se mora katera koli od teh veličin v dani situaciji spremeniti med seboj.

• Formalno, ker lahko navor izrazimo kotτ= dL/ dt (hitrost spremembe, če je kotni moment s časom), ko je vsota navorov v sistemu nič, potem dL/ dt mora biti enaka tudi nič in v času, v katerem se sistem ocenjuje, se v sistemu ne spremeni kotni moment. Če L ni konstanten, to pomeni neravnovesje navorov v sistemu (tj.τ_mrežajeneenako nič).

To je pomemben koncept v mnogih primerih mehanike iz vsakdanjega življenja. Klasičen primer je drsalka na ledu: ko skoči v zrak, da naredi trojno os, močno vleče okončine. To zmanjša njen celotni polmer okoli osi vrtenja in spremeni njeno porazdelitev mase, tako da se njen moment vztrajnosti zmanjša (ne pozabite,jazje sorazmeren z mr²​).

Ker se kotni moment ohrani, če pajazzmanjša, njena kotna hitrost se mora povečati; tako se vrti dovolj hitro, da opravi več rotacij v zraku! Ko pristane, naredi obratno - razširi okončine, spremeni svojo porazdelitev mase, da poveča svoj vztrajnostni trenutek, nato pa upočasni hitrost vrtenja (kotno hitrost).

Vseskozi je kotni moment sistema konstanten, vendar je s spremenljivkami, ki določajo velikost kotnega momenta, mogoče manipulirati in s strateškim učinkom, kot v tem primeru.

Od 1600-ih se je Isaac Newton lotil učinkovite revolucije v matematični fiziki. Ko je izumil račun, je bil dobro pripravljen za formalne trditve o domnevno univerzalnih zakonih ki urejajo gibanje predmetov, tako translacijsko (linearno in skozi vesolje) kot rotacijsko (ciklično in približno) os).

• Raznozakoni o ohranjanjuki so pozneje deležno omenjeni, niso Newtonovi možgani, vendar obstajajo pomembne povezave med njimi in zakoni gibanja.

​Newtonov prvi zakonnavaja, da bo objekt v mirovanju ali gibanju s konstantno hitrostjo ostal v tem stanju, razen če na objekt deluje zunanja sila. Temu pravimo tudivztrajnostni zakon.​

​Newtonov drugi zakontrdi, da je neto silaF_mrežadeluje na delec z masombo ponavadi spremenil hitrost ali pospešil to maso. Ta znameniti odnos je matematično izražen kotF_mreža= ma​.

​Newtonov tretji zakonpravi, da za vsako silo, ki obstaja v naravi, obstaja sila, enaka po velikosti, vendar usmerjena v ravno nasprotno smer. Ta zakon ima pomembne posledice za ohranjene lastnosti gibanja, vključno s kotnim momentom.

Zdaj je pravi čas za pregled narave, pravil in odnosov med njimisila​, ​zagon(masa pomnožena s hitrostjo) inenergija, ki ne predstavljajo razprav le o kotnem momentu, ampak tudi o vsem drugem v klasični fiziki.

Kot smo že omenili, razen če objekt doživi zunanjo silo (ali v primeru vrtečega se predmeta zunanji navor), njegovo gibanje še naprej ostane nespremenjeno. Na Zemlji pa je gravitacija tako rekoč vedno v mešanici, tako kot manjši prispevek zračnega upora in različne vrste trenja sile, zato se nič ne nadaljuje, če se mu občasno ne da energija, ki bi nadomestila tisto, kar "prevzame" to kronično gibanje tatovi. "

Za poenostavitev ima delec acelotna energijaki jo sestavljajonotranja energija(npr. vibracije njegovih molekul) inmehanska energija. Mehanska energija je vsota obračanjapotencialna energija(PE; "shranjena" energija, običajno z gravitacijo) inkinetična energija(KE; energija gibanja). V korist je PE + KE + IE = konstanta za vse sisteme, pa naj bo to točkovna masa (posamezni delci) ali različne pihajoče in medsebojno povezane mase.

Ko slišite izraze, povezane z gibanjem, kot so hitrost, pospešek, premik in zagon, verjetno privzeto domnevate, da je kontekst linearno gibanje. Vrtljivo gibanje ima pravzaprav svoje edinstvene, a analogne količine.

Medtem ko se linearni premik meri v metrih (m) v enotah SI, se kotni premik meri v radianih (2π rad = 360 stopinj). Skladno s temkotna hitrostje izmerjena v rad / s in je predstavljena zω, grška črka omega.

Ko pa se točkovna masa premika okoli svoje vrtilne osi, delec poleg kotne hitrosti zasleduje tudi krožno pot z določeno hitrostjo, podobno linearnemu gibanju. Ta stopnja jetangencialna hitrost​ ​v_t​​,in je enako rω,kjerje polmer ali razdalja od osi vrtenja.

V povezavi s temkotni pospešek​ ​α(Grška alfa) je hitrost spremembe kotne hitrostiωin se meri v rad / s². Obstaja tudicentripetalni pospešek​ ​a_cdobiti odv_t²/r,ki je usmerjena navznoter proti osi vrtenja.

• Med razpravo o kotnem momentu je dvojnik mvlinearno, bomo kmalu temeljito razpravljali, vemo, da je ena od njegovih komponent,jaz, lahko mislimo kot rotacijski analog mase.

Kotni moment, kot so sila, premik, hitrost in pospešek, jevektorska količina, ker take spremenljivke vključujejo tako avelikost(tj. število) in asmer, pogosto podane izraze posameznih komponent x-, y- in z-komponent. Količine, ki vsebujejo samo številski element, kot so masa, čas, energija in delo, so znane kotskalarne količine​.