Rotacijska kinematika: kaj je to in zakaj je to pomembno (z enačbami in primeri)

Kinematika je matematična veja fizike, ki z enačbami opisuje gibanje predmetov (natančneje njihovihpoti) brez sklicevanja na sile.

To pomeni, da lahko preprosto vključite različna števila v sklop štirih kinematičnih enačb, da poiščete neznanke v te enačbe, ne da bi potrebovali kakršno koli znanje fizike, ki stoji za tem gibanjem, pri čemer se zanašate samo na svojo algebro spretnosti.

"Kinematika" je kombinacija "kinetike" in "matematike" - z drugimi besedami, matematike gibanja.

Rotacijska kinematika je točno to, vendar se posebej ukvarja s predmeti, ki se gibljejo po krožnih poteh in ne vodoravno ali navpično. Tako kot predmete v svetu translacijskega gibanja lahko tudi te vrtljive predmete opišemo z vidika njihovega premika, hitrosti in pospešek skozi čas, čeprav se nekatere spremenljivke nujno spremenijo, da se prilagodijo osnovnim razlikam med linearno in kotno gibanje.

Pravzaprav je zelo koristno, če se hkrati naučimo osnov linearnega gibanja in rotacijskega gibanja ali pa se vsaj seznanimo z ustreznimi spremenljivkami in enačbami. To vas ne bo prevzelo, temveč naj bi podčrtalo vzporednice.

Seveda je pri učenju o teh »vrstah« gibanja v vesolju pomembno vedeti, da se prevajanje in vrtenje še zdaleč ne izključujeta. Pravzaprav večina premikajočih se predmetov v resničnem svetu kaže kombinacijo obeh vrst gibanja, pri čemer eden od njih pogosto ni viden na prvi pogled.

Ker "hitrost" običajno pomeni "linearna hitrost", "pospešek" pa pomeni "linearni pospešek", če ni drugače določeno, je primerno pregledati nekaj preprostih primerov osnovnega gibanja.

Linearno gibanje dobesedno pomeni gibanje, omejeno na eno vrstico, ki ji je pogosto dodeljena spremenljivka "x". Težave z gibanjem izstrelkov vključujejo tako x- kot dimenzije y, gravitacija pa je edina zunanja sila (upoštevajte, da so te težave opisane kot pojav v tridimenzionalnem svetu, npr. "Topovsko kroglo je odpuščen… «).

Upoštevajte to masomne vnese kakršnih koli kinematičnih enačb, ker je vpliv gravitacije na gibanje predmetov neodvisno od njihove mase in količine, kot so zagon, vztrajnost in energija, niso del nobenih enačb gibanje.

Ker rotacijsko gibanje vključuje preučevanje krožnih poti (v neenakomernih in enakomernih krožnih gibanja), namesto da uporabite metre za opis premika predmeta, uporabljate radiane ali stopinje namesto tega.

Radian je na površju nerodna enota, ki prevede na 57,3 stopinje. Toda eno potovanje po krogu (360 stopinj) je opredeljeno kot 2π radiana, kar se izkaže, da je to v nekaterih primerih priročno pri reševanju težav.

• Razmerjeπ rad = 180 stopinjlahko uporabite za enostavno pretvorbo med obema merskima enotama.

Morda obstajajo težave, ki vključujejo število vrtljajev na enoto časa (vrtljajev na minuto ali vrtljajev na minuto). Ne pozabite, da je vsak obrat 2π radiana ali 360 stopinj.

Meritve translacijske kinematike ali enote imajo rotacijske analoge. Na primer, namesto linearne hitrosti, ki na primer opisuje, kako daleč se žoga valja v ravni črti v določenem časovnem intervalu, se žogarotacijskialikotna hitrostopisuje hitrost vrtenja te krogle (koliko se vrti v radianih ali stopinjah na sekundo).

Tu je treba predvsem upoštevati, da ima vsaka translacijska enota rotacijski analog. Učenje matematičnega in konceptualnega povezovanja "partnerskih" zahteva malo vaje, večinoma pa gre za preprosto zamenjavo.

Linearna hitrostvdoloča tako velikost kot smer prevajanja delca; kotna hitrostω(grška črka omega) predstavlja njegovo edinstveno hitrost, ki pomeni, kako hitro se predmet vrti v radianih na sekundo. Podobno je stopnja spremembeω, kotni pospešek je podan zα(alfa) v rad / s².

Vrednostiωinαenaki za katero koli točko na trdnem predmetu, ne glede na to, ali so merjeni 0,1 m od osi vrtenja ali 1000 m stran, ker je le, kako hiter je kotθspremembe, ki so pomembne.

Vendar pa obstajajo tangencialne (in s tem linearne) hitrosti in pospeški v večini primerov, ko so vidne rotacijske količine. Tangencialne količine se izračunajo tako, da se kotne količine pomnožijo zr, razdalja od osi vrtenja:v_t​ = ​ωrinα​​_t​ = ​α​​r.​

Zdaj, ko so meritve analogije med rotacijskim in linearnim gibanjem na kvadrat uvedene z uvedbo novih kotnih členov, jih lahko uporabimo za prepisovanje štiri klasične enačbe translacijske kinematike v smislu rotacijske kinematike, le z nekoliko drugačnimi spremenljivkami (črke v enačbah predstavljajo neznano količine).

V kinematiki obstajajo štiri temeljne enačbe in štiri osnovne spremenljivke: položaj (x​, ​yaliθ), hitrost (valiω), pospešek (aaliα) in čast. Katero enačbo boste izbrali, je odvisno od tega, katere količine ni mogoče začeti.

​- [vstavite tabelo linearnih / translacijskih kinematičnih enačb, poravnanih z njihovimi rotacijskimi analogi]​

Recimo, da vam na primer povedo, da je ročica stroja pometala kotni premik 3π / 4 radiana z začetno kotno hitrostjoω₀0 rad / s in končno kotno hitrostωπ rad / s. Koliko časa je trajalo to gibanje?

Medtem ko ima vsaka translacijska enačba rotacijski analog, obratno ni povsem res zaradi centripetalnega pospeška, ki je posledica tangencialne hitrostiv_tin usmerja proti osi vrtenja. Tudi če se hitrost delca, ki kroži okoli masnega središča, ne spremeni, to predstavlja pospešek, ker se smer vektorja hitrosti vedno spreminja.

1. Tanka palica, ki je razvrščena kot trdo telo z dolžino 3 m, se vrti okoli osi na enem koncu. Enotno pospešuje od mirovanja do 3π rad / s² v obdobju 10 s.

a) Kolikšna sta povprečna kotna hitrost in kotni pospešek v tem času?

Tako kot pri linearni hitrosti, samo delite (ω₀+​ ​ω) za 2, da dobimo povprečno kotno hitrost: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Radiani so brezdimenzijska enota, zato je v kinematičnih enačbah kotna hitrost izražena kot s^-1.

Povprečni pospešek je podan zω=ω₀+ αt, aliα= (3π s^-1/ 10 s) =0,3π s^-2​.

b) Koliko popolnih vrtljajev naredi palica?

Ker je povprečna hitrost 1,5π s^-1 in palica se vrti 10 sekund, se premika skozi skupno 15π radianov. Ker je en vrtljaj 2π radianov, to pomeni (15π / 2π) = 7,5 vrtljajev (sedem popolnih revolucij) v tej težavi.

c) Kolikšna je tangencialna hitrost konca palice v času t = 10 s?

Odv_t​ = ​ωr, inωv času t = 10 je 3π s^-1, ​v_t= (3π s^-1) (3 m) =9π m / s.​

​jazje opredeljen kot vztrajnostni trenutek (imenovan tudidrugi trenutek območja) v rotacijskem gibanju in je za računske namene podobna masi. Tako se zdi, kje bi se v svetu linearnega gibanja pojavila masa, morda najpomembneje pri izračunu kotnega momentaL. To je produkt podjetjajazin​ω​,in je vektor s smerjo enako​ω​.​

​I = g² za točkovni delec, sicer pa je to odvisno od oblike predmeta, ki se vrti, pa tudi od osi vrtenja. Priročen seznam vrednosti zajazza običajne oblike.

Masa je drugačna, ker količina v rotacijski kinematiki, na katero se nanaša, dejansko vztrajnostni momentvsebujemasa kot sestavni del.