Ak máte radi matematické zvláštnosti, budete mať radi Pascalov trojuholník. Pomenované po francúzskom matematikovi 17. storočia Blaise Pascalovi a Číňanom známe už mnoho storočí pred Pascalom ako trojuholník Yanghui, je to vlastne viac než čudnosť. Je to konkrétne usporiadanie čísel, ktoré je neuveriteľne užitočné v algebre a teórii pravdepodobnosti. Niektoré z jeho charakteristík sú zložitejšie a zaujímavejšie ako užitočné. Pomáhajú ilustrovať tajomnú harmóniu sveta opísanú číslami a matematikou.
Pravidlo pre zostrojenie Pascalovho trojuholníka nemohlo byť jednoduchšie. Začnite číslom jedna na vrchole a tvorte druhý riadok pod ním pomocou dvojice. Ak chcete zostaviť tretí a všetky nasledujúce riadky, začnite tak, že jeden umiestnite na začiatok a na koniec. Každú číslicu medzi touto dvojicou odvodíte pridaním dvoch číslic bezprostredne nad ňou. Tretí riadok je teda 1, 2, 1, štvrtý riadok je 1, 3, 3, 1, piaty riadok je 1, 4, 6, 4, 1 a tak ďalej. Ak každá číslica zaberá škatuľu, ktorá má rovnakú veľkosť ako všetky ostatné škatule, usporiadanie je dokonalé rovnostranný trojuholník ohraničený z dvoch strán jednotkami a so základňou rovnajúcou sa dĺžke počtu riadkov. Riadky sú symetrické v tom, že sa čítajú rovnako dozadu aj dopredu.
Pascal objavil trojuholník, ktorý bol po celé storočia známy perzským a čínskym filozofom, keď študoval algebraickú expanziu výrazu (x + y)n. Keď rozšírite tento výraz na n-tú mocninu, koeficienty výrazov v rozšírení zodpovedajú číslam v n-tom riadku trojuholníka. Napríklad (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + r2 a tak ďalej. Z tohto dôvodu matematici niekedy nazývajú usporiadanie trojuholník binomických koeficientov. Pre veľké počty n je zjavne jednoduchšie prečítať koeficienty rozťažnosti z trojuholníka, ako ich vypočítať.
Predpokladajme, že hodíte mincou určitý počet opakovaní. Koľko kombinácií hláv a chvostov môžete získať? Zistíte to tak, že sa pozriete na riadok v Pascalovom trojuholníku, ktorý zodpovedá počtu opakovaní hodenia mincou, a pridáte všetky čísla v danom riadku. Napríklad, ak mincu hodíte trikrát, existuje 1 + 3 + 3 + 1 = 8 možností. Pravdepodobnosť dosiahnutia rovnakého výsledku trikrát za sebou je preto 1/8.
Podobne môžete pomocou Pascalovho trojuholníka zistiť, koľko spôsobov môžete kombinovať objekty alebo možnosti z danej množiny. Predpokladajme, že máte 5 guličiek a chcete vedieť, koľko spôsobov si môžete vybrať dve z nich. Stačí ísť do piateho radu a pozrieť sa na druhý záznam, aby ste našli odpoveď, ktorá je 5.