„Sínus“ je matematická skratka pre pomer dvoch strán pravého trojuholníka vyjadrená ako zlomok: Strana oproti akýkoľvek uhol, ktorý meriate, je čitateľ zlomku a prepona pravého trojuholníka je menovateľ. Keď si osvojíte tento koncept, stane sa stavebným kameňom pre formulu známu ako sinusový zákon, ktorú je možné nájsť chýbajúce uhly a strany pre trojuholník, pokiaľ poznáte aspoň dva z jeho uhlov a jednu stranu, alebo dve strany a jednu uhol.
Rekapitulácia sinusového zákona
Zákon sínusov vám hovorí, že pomer uhla v trojuholníku k strane protiľahlej bude rovnaký pre všetky tri uhly trojuholníka. Alebo inak povedané:
hriech (A) /a = hriech (B) /b = hriech (C) /c, kde A, B a C sú uhly trojuholníka a a, b a c sú dĺžky strán opačných k týmto uhlom.
Táto forma je najužitočnejšia na zistenie chýbajúcich uhlov. Ak na zistenie chýbajúcej dĺžky strany trojuholníka použijete sinusový zákon, môžete ho tiež napísať pomocou sínusov v menovateli:
a/ sin (A) = b/ sin (B) = c/sin(C)
Nájdenie chýbajúceho uhla so Sínovým zákonom
Predstavte si, že máte trojuholník s jedným známym uhlom - povedzme, že uhol A meria 30 stupňov. Poznáte tiež mieru dvoch strán trojuholníka: strany a, ktorý je v opačnom uhle A, meria 4 jednotky a bočný b meria 6 jednotiek.
Dávajte pozor na nejednoznačný prípad sínusového zákona, ktorý môže vzniknúť, ak ste, rovnako ako v tomto probléme, vzhľadom na dĺžku dvoch strán a uhol, ktorý medzi nimi nie je. Nejasný prípad je iba varovaním, že za týchto konkrétnych okolností môžu byť na výber dve možné odpovede. Jednu možnú odpoveď ste už našli. Ak chcete analyzovať ďalšiu možnú odpoveď, odčítajte uhol, ktorý ste práve našli, od 180 stupňov. Pridajte výsledok k prvému známemu uhlu, ktorý ste mali. Ak je výsledok menší ako 180 stupňov, je tento „výsledok“, ktorý ste práve pridali k prvému známemu uhlu, druhým možným riešením.
Vložte všetky známe informácie do prvej formy sínusového zákona, ktorá je najlepšia na hľadanie chýbajúcich uhlov:
hriech (30) / 4 = hriech (B) / 6 = hriech (C) /c
Ďalej vyberte cieľ; v takom prípade nájdite mieru uhla B.
Nastavenie problému je rovnako jednoduché ako nastavenie prvého a druhého výrazu tejto rovnice navzájom. Tretieho funkčného obdobia sa teraz nemusíte obávať. Takže máte:
hriech (30) / 4 = hriech (B) / 6
Pomocou kalkulačky alebo tabuľky nájdite sínus známeho uhla. V takom prípade sin (30) = 0,5, takže máte:
(0,5) / 4 = hriech (B) / 6, čo zjednodušuje:
0,125 = hriech (B) / 6
Vynásobte každú stranu rovnice číslom 6, aby ste izolovali sínusové meranie neznámeho uhla. Získate tak:
0,75 = hriech (B)
Nájdite inverzný sínus alebo arkusín neznámeho uhla pomocou kalkulačky alebo tabuľky. V tomto prípade je inverzný sínus 0,75 približne 48,6 stupňov.
Varovania
Hľadanie stránky sínusového zákona
Predstavte si, že máte trojuholník so známymi uhlami 15 a 30 stupňov (nazvime ich A, respektíve B) a dĺžkou boku. a, ktorý je v opačnom uhle A, je dlhý 3 jednotky.
Ako už bolo spomenuté, tri uhly trojuholníka sa sčítajú vždy do 180 stupňov. Takže ak už poznáte dva uhly, môžete nájsť mieru tretieho uhla odčítaním známych uhlov od 180:
180 - 15 - 30 = 135 stupňov
Takže chýbajúci uhol je 135 stupňov.
Do druhého vzorca (ktorý je najjednoduchší pri výpočte chýbajúcej strany) vyplňte informácie, ktoré už viete, do vzorca sinusového zákona:
3 / hriech (15) = b/ hriech (30) = c/sin(135)
Vyberte, ktorej chýbajúcej strany chcete zistiť dĺžku. V tomto prípade z dôvodu pohodlia vyhľadajte dĺžku strany b.
Na nastavenie problému si vyberiete dva zo sínusových vzťahov stanovených v sínusovom zákone: Ten, ktorý obsahuje váš cieľ (strana b) a ten, pre ktorého už viete všetky informácie (to je strana a a uhol A). Nastavte tieto dva sínusové vzťahy navzájom:
3 / hriech (15) = b/sin(30)
Teraz vyriešte pre b. Začnite pomocou svojej kalkulačky alebo tabuľky, aby ste našli hodnoty sin (15) a sin (30) a vyplnili ich do svojej rovnice (pre tento príklad použite zlomok 1/2 namiesto 0,5), ktorá dáva vy:
3/0.2588 = b/(1/2)
Všimnite si, že váš učiteľ vám povie, ako ďaleko (a ak) zaokrúhliť vaše sínusové hodnoty. Môžu vás tiež požiadať, aby ste použili presnú hodnotu sínusovej funkcie, ktorá je v prípade sin (15) veľmi chaotická (√6 - √2) / 4.
Ďalej zjednodušte obe strany rovnice a nezabudnite, že delenie zlomkom je rovnaké ako vynásobenie jeho inverznej hodnoty:
11,5920 = 2_b_
Kvôli pohodliu striedajte strany rovnice, pretože premenné sú zvyčajne uvedené vľavo:
2_b_ = 11,5920
A nakoniec dokončite riešenie pre b. V takom prípade stačí vydeliť obe strany rovnice číslom 2, čím získate:
b = 5.7960
Chýbajúca strana vášho trojuholníka je teda dlhá 5 7960 jednotiek. Rovnako ľahko by ste mohli použiť rovnaký postup na riešenie pre stranu c, pričom sa jeho termín v sínusovom práve rovná pojmu pre stranu a, pretože už viete úplné informácie o tejto strane.