Predstavte si, že stojíte uprostred dokonale kruhovej arény. Pozeráte sa smerom k davom po stranách arény a na jednom sedadle spozorujete svojho najlepšieho kamaráta a svojho učiteľa matematiky na strednej škole o niekoľko častí ďalej. Aká je vzdialenosť medzi nimi a vami? Ako ďaleko by ste museli ísť pešo, aby ste cestovali zo sedadla svojho priateľa na miesto učiteľa? Aké sú miery uhlov medzi vami? To sú všetko otázky týkajúce sa stredových uhlov.
A stredový uhol je uhol, ktorý sa vytvorí, keď sú od stredu kruhu k jeho okrajom nakreslené dva polomery. V tomto príklade sú týmito dvoma polomermi vaše dve čiary pohľadu od vás, v strede arény, k vášmu priateľovi a čiara pohľadu k vášmu učiteľovi. Uhol, ktorý sa vytvára medzi týmito dvoma čiarami, je stredový uhol. Je to uhol najbližšie k stredu kruhu.
Váš priateľ a váš učiteľ sedia pozdĺž obvod alebo okraje kruhu. Cesta pozdĺž arény, ktorá ich spája, je oblúk.
Nájdite stredový uhol z dĺžky oblúka a obvodu
Existuje niekoľko rovníc, pomocou ktorých môžete zistiť stredový uhol. Niekedy dostanete
dĺžka oblúka, vzdialenosť po obvode medzi dvoma bodmi. (V tomto príklade je to vzdialenosť, ktorú by ste museli prejsť po aréne, aby ste sa dostali od priateľa k učiteľovi.) Vzťah medzi stredovým uhlom a dĺžkou oblúka je:(dĺžka oblúka) ÷ obvod = (stredový uhol) ÷ 360 °
Stredový uhol bude v stupňoch.
Tento vzorec má zmysel, ak sa nad tým zamyslíte. Dĺžka oblúka z celkovej dĺžky okolo kruhu (obvodu) je rovnaká ako uhol oblúka z celkového uhla v kruhu (360 stupňov).
Aby ste túto rovnicu mohli efektívne využiť, potrebujete poznať obvod kruhu. Tento vzorec však môžete použiť aj na zistenie dĺžky oblúka, ak poznáte stredový uhol a obvod. Alebo, ak máte dĺžku oblúka a stredový uhol, môžete zistiť obvod!
Nájdite stredový uhol z dĺžky a polomeru oblúka
Na vyhľadanie stredového uhla môžete tiež použiť polomer kruhu a dĺžku oblúka. Miesto stredového uhla zavolajte θ. Potom:
θ = s÷ r, kde s je dĺžka oblúka ar je polomer. θ sa meria v radiánoch.
Túto rovnicu môžete znova usporiadať v závislosti od informácií, ktoré máte. Dĺžku oblúka nájdete z polomeru a stredového uhla. Alebo môžete nájsť polomer, ak máte stredový uhol a dĺžku oblúka.
Ak chcete dĺžku oblúka, rovnica vyzerá takto:
s =θ * r, kde s je dĺžka oblúka, r je polomer a θ je stredový uhol v radiánoch.
Veta o ústrednom uhle
Dodajme zvrat do vášho príkladu, keď ste v aréne so svojím susedom a učiteľom. Teraz je v aréne tretia osoba, ktorú poznáš: tvoj sused. A ešte jedna vec: Sú za vami. Musíte sa otočiť, aby ste ich videli.
Váš sused je približne za arénou od vášho priateľa a učiteľa. Z pohľadu vášho suseda existuje uhol, ktorý je tvorený priamkou ich pohľadu na priateľa a zorným uhlom pohľadu na učiteľa. Tomu sa hovorí vpísaný uhol. An vpísaný uhol je uhol tvorený tromi bodmi pozdĺž obvodu kruhu.
Veta o centrálnom uhle vysvetľuje vzťah medzi veľkosťou stredového uhla, ktorý ste vytvorili vy, a vpísaným uhlom, ktorý tvorí váš sused. The Veta o strednom uhle uvádza, že stredový uhol je dvojnásobok vpísaného uhla. (Toto predpokladá, že používate rovnaké koncové body. Pozeráte sa obaja na učiteľa a priateľa, nie na nikoho iného).
Toto je ďalší spôsob, ako to napísať. Zavolajme sedadlo vášho priateľa A, sedadlo vášho učiteľa B a sedadlo vášho suseda C. Vy, v strede, môžete byť O.
Takže pre tri body A, B a C pozdĺž obvodu kruhu a bodu O v strede je stredový uhol ∠AOC dvojnásobkom vpísaného uhla ∠ABC.
To znamená, ∠AOC = 2∠ABC.
To dáva nejaký zmysel. Ste bližšie k priateľovi a učiteľovi, takže sa k vám pozerajú ďalej od seba (väčší uhol). Susedom na druhej strane štadióna vyzerajú oveľa bližšie k sebe (menší uhol).
Výnimka z vety o centrálnom uhle
Poďme teraz posunúť veci vyššie. Váš sused na odvrátenej strane arény sa začne pohybovať! Stále majú priamy výhľad na priateľa a učiteľa, ale čiary a uhly sa neustále posúvajú, keď sa sused pohybuje. Hádajte, čo: Pokiaľ sused zostáva medzi oblúkom medzi priateľom a susedom, veta o centrálnom uhle stále platí!
Čo sa však stane, keď sa sused pohne medzi kamarát a učiteľ? Teraz je váš sused vo vnútri menší oblúk, relatívne malá vzdialenosť medzi priateľom a učiteľom v porovnaní s väčšou vzdialenosťou okolo zvyšku arény. Potom dosiahnete výnimku z vety o centrálnom uhle.
The výnimkou z vety o centrálnom uhle uvádza, že keď je bod C, sused, vo vnútri vedľajšieho oblúka, vpísaný uhol je doplnkom polovice stredového uhla. (Pamätajte, že uhol a jeho doplnok pridať na 180 stupňov.)
Takže: vpísaný uhol = 180 - (stredový uhol ÷ 2)
Alebo: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizujte
Math Open Reference má nástroj na vizualizáciu vety o strednom uhle a jeho výnimiek. Dostanete pretiahnutie „suseda“ do všetkých rôznych častí kruhu a sledujete, ako sa menia uhly. Vyskúšajte, ak chcete vizuálny alebo praktický tréning!