Systémy rovníc môžu pomôcť pri riešení skutočných otázok vo všetkých druhoch oblastí, od chémie cez obchod až po šport. Ich riešenie nie je dôležité iba pre vaše matematické známky; môže vám ušetriť veľa času, či už sa snažíte stanoviť ciele pre svoje podnikanie alebo svoj športový tím.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Ak chcete vyriešiť systém rovníc grafom, nakreslite každý riadok v rovnakej súradnicovej rovine a uvidíte, kde sa pretínajú.
Skutočné aplikácie
Predstavte si napríklad, že vy a váš priateľ pripravujete limonádový stánok. Rozhodli ste sa rozdeliť a dobyť, takže váš priateľ ide na susedné basketbalové ihrisko, zatiaľ čo vy zostanete na rohu svojej rodiny. Na konci dňa spojíte svoje peniaze. Spoločne ste zarobili 200 dolárov, ale váš priateľ zarobil o 50 dolárov viac ako vy. Koľko peňazí zarobil každý z vás?
Alebo premýšľajte o basketbale: Strely mimo trojbodovej čiary majú hodnotu 3 body, koše vyrobené vo vnútri trojbodovej čiary majú hodnotu 2 body a trestné hody majú hodnotu iba 1 bod. Váš súper je pred vami o 19 bodov. Aké kombinácie košov by ste mohli urobiť, aby ste dohnali?
Riešte systémy rovníc grafom
Grafy sú jedným z najjednoduchších spôsobov riešenia sústav rovníc. Všetko, čo musíte urobiť, je nakresliť obidve čiary v rovnakej súradnicovej rovine a potom zistiť, kde sa pretínajú.
Najprv musíte napísať slovnú úlohu ako systém rovníc. Priraďte premenné k neznámym. Zavolajte peniaze, ktoré zarobíteY.a peniaze, ktoré váš priateľ zarobíF.
Teraz máte dva druhy informácií: informácie o tom, koľko peňazí ste zarobili spolu, a informácie o tom, ako ste zarobili peniaze v porovnaní s peniazmi, ktoré zarobil váš priateľ. Každá z nich sa stane rovnicou.
Pre prvú rovnicu napíš:
Y + F = 200
pretože vaše peniaze plus peniaze vášho priateľa sa zvyšujú až na 200 dolárov.
Potom napíšte rovnicu a opíšte porovnanie vašich zárobkov.
Y = F - 50
pretože suma, ktorú ste zarobili, je o 50 dolárov nižšia ako suma, ktorú zarobil váš priateľ. Môžete tiež napísať túto rovnicu akoY. + 50 = F, pretože to, čo ste zarobili, plus 50 dolárov sa rovná tomu, čo zarobil váš priateľ. Toto sú rôzne spôsoby písania tej istej veci a vaša konečná odpoveď sa tým nezmení.
Takže sústava rovníc vyzerá takto:
Y + F = 200 \\ Y = F - 50
Ďalej musíte obidve rovnice zakresliť do rovnakej súradnicovej roviny. Graf vašej sumy,Y., nar- os a suma vášho priateľa,F, naX- os (v skutočnosti nezáleží na tom, ktorá je ktorá, pokiaľ ich správne označíte). Môžete použiť milimetrový papier a ceruzku, ručnú grafickú kalkulačku alebo online grafickú kalkulačku.
Momentálne je jedna rovnica v štandardnom tvare a jedna vo forme interceptu. To nevyhnutne nie je problém, ale kvôli konzistencii dostaňte obe rovnice do tvaru sklonu-zachytenia.
Pre prvú rovnicu teda preveďte zo štandardného tvaru na tvar interceptu. To znamená vyriešiť preY.; inými slovami, dostaťY.samostatne na ľavej strane znaku rovnosti. Takže odpočítajteFz oboch strán:
Y + F = 200 \\ Y = -F + 200
Pamätajte, že vo forme interceptu so sklonom je číslo pred F sklon a y je konštanta.
Na vytvorenie grafu prvej rovniceY. = −F+ 200, nakreslite bod na (0, 200) a potom pomocou sklonu vyhľadajte ďalšie body. Sklon je -1, takže choďte nadol o jednu jednotku a nad jednu jednotku a nakreslite bod. To vytvorí bod na (1, 199) a ak zopakujete postup začínajúci týmto bodom, získate ďalší bod na (2, 198). Jedná sa o malé pohyby na veľkej čiare, takže nakreslite ešte jeden bod naX-intercept, aby ste sa uistili, že máte veci v dlhodobom horizonte pekne nakreslené. AkY.= 0, tedaFbude 200, takže nakreslite bod na (200, 0).
Na vytvorenie grafu druhej rovniceY. = F- 50, pomocou priesečníka y -50 nakreslite prvý bod v bode (0, -50). Pretože sklon je 1, začnite na (0, −50) a potom choďte hore o jednu jednotku a nad jednu jednotku. Týmto sa dostanete na (1, −49). Opakujte postup od (1, −49) a získate tretí bod pri (2, −48). Opäť platí, že aby ste sa ubezpečili, že robíte veci úhľadne aj na veľké vzdialenosti, skontrolujte si to tiež tak, že nakreslíteX-intercept. KedyY. = 0, Fbude 50, takže tiež nakreslite bod na (50, 0). Spojte tieto body úhľadnou čiarou.
Pozorne sa pozrite na svoj graf a uvidíte, kde sa tieto dve čiary pretínajú. Toto bude riešenie, pretože riešením systému rovníc je bod (alebo body), ktoré obidve rovnice uskutočňujú. V grafe to bude vyzerať ako bod (alebo body), kde sa tieto dve čiary pretínajú.
V takom prípade sa tieto dve čiary pretínajú na hodnote (125, 75). Riešením teda je, že váš priateľ (X- koordinátor) zarobil 125 dolárov a vy (r-koordinátor) zarobil 75 dolárov.
Rýchla logická kontrola: Má to zmysel? Spoločne sa tieto dve hodnoty zvýšia na 200 a 125 je o 50 viac ako 75. Znie to dobre.
Jedno riešenie, nekonečné riešenie alebo žiadne riešenie
V tomto prípade bol presne jeden bod, kde sa dve čiary pretínali. Pri práci so systémami rovníc existujú tri možné výsledky a každý bude v grafe vyzerať inak.
- Ak má systém jedno riešenie, čiary sa budú križovať v jednom bode, ako to bolo v príklade.
- Ak systém nemá žiadne riešenia, čiary sa nikdy neprekročia. Budú rovnobežné, čo z algebraického hľadiska znamená, že budú mať rovnaký sklon.
- Systém môže mať aj nekonečné riešenie, čo znamená, že vaše „dve“ linky sú v skutočnosti rovnaké. Budú mať teda každý jeden spoločný bod, čo je nekonečné množstvo riešení.