Koncepciavlastné hodnotyje nejasný, ale veľmi vhodný pre matematikov a fyzikálnych vedcov, ktorí čelia niektorým zaujímavým problémom.
Aby ste pochopili vlastné číslo, predstavte si funkciu (napr.r = X2 + 6Xalebor= denník 4X), ktorý by ste mohli uskutočniť nejakým procesom, takže výsledok by bol rovnaký ako vynásobenie celej funkcie konštantnou hodnotou. Takáto funkcia by sa kvalifikovala akovlastná funkciaa konštanta by bola vlastnou hodnotou.
- „Eigen“ je nemčina pre „rovnaký“.
Aby ste čo najlepšie porozumeli vlastným číslam a vlastným funkciám a boli schopní vypočítať vlastné čísla sami, potrebujete základné znalosti matíc. Tieto matematické triky sa používajú na určenie povedzme poradia väzieb NO2 (oxid dusičitý) a ďalšie molekuly, pretože správanie elektrónov v atómoch je určené vlnovými funkciami, ktoré sa kvalifikujú ako vlastné funkcie.
Čo je to Matrix?
Matica je pole čísel zoradených v riadkoch a stĺpcoch, ktoré môžu mať číslo od 1 don. Rozmery matíc sú uvedené ako riadok po stĺpci; napríklad nasledujúca je matica 2 x 3:
\ begin {bmatrix} 3 a 0 a 4 \\ 1 a 3 a 5 \\ \ end {bmatrix}
Matice je možné spojiť, ak majú rovnakú veľkosť (tj. Majú rovnaký počet riadkov a rovnaký počet stĺpcov). Môžu sa tiež množiť spoločne postupným procesom za rovnakých podmienok. Akákoľvek matica môže byť navyše vynásobená vektorom, ktorý je 1 nanalebon-by-1 matrica; to zahrnuje ďalšie vektory.
Čo je rovnica vlastných čísel?
Povedzme, že máten-by-nalebo „štvorcová“ maticaA, nenulován-by-1 vektorva skalárnyλ, takže je splnená táto rovnica:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Akákoľvek hodnotaλpre ktoré má táto rovnica riešenie, je známe ako vlastné číslo maticeA.
Nenechajte svoju myseľ považovať vyššie uvedené výrazy za produkt.Ajeoperátorna alebo lineárnu transformáciu vektorav, pričom tento výpočet je možný iba z dôvoduAavobaja majúnriadkov.
Prečo používať funkcie vlastných čísel?
Derivácia je komplikovaná, ale v atómovej chémii sa na vyjadrenie kinetickej a potenciálnej energie systému používa hamiltonovský operátor „H-bar“:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Používa sa na napísanie formuláraSchrodingerova vlnová rovnicav kvantovej mechanike:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
TuEpredstavuje vlastné čísla vyhovujúce tejto rovnici.
Spôsoby, ako nájsť vlastné čísla matice
Z rovnice Av = λv dostaneteA v − λv=0. To vedie k:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
KdeJaje matica identity 2 x 2 s riadkami [λ0] a [0λ], čo vedie k 1, keď sa vynásobí skaláromλ. Tento výsledok dáva:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Čo akvje nenulová, má riešenie, iba ak je absolútna hodnotaA− λJa, alebo |A − λJa|, je nula. Ak to urobíte ručne, znamená to vyriešiť kvadratickú rovnicu a môže to byť zdĺhavé.
Ak chcete spojiť dve matice dohromady, pre každý bod v produktovej matici vynásobte zodpovedajúce body dohromady a pridajte to k produktom zostávajúcich prvkov riadkov a stĺpcov v riadku a stĺpci, ku ktorým má nový bod patrí.
Pri vynásobení dvoch matíc 2 x 2AaBspolu, ak je prvý radAje [1 3] a prvý stĺpec zBje [2 5], číslo v prvom stĺpci a riadku novej matice by bolo [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 a zodpovedajúcim spôsobom pre ďalšie tri body.
Vypočítajte vlastné čísla online
V časti Zdroje nájdete nástroj na výpočet matice, ktorý vám umožní nájsť vlastné hodnoty a ďalšie pre maticu takmer akejkoľvek mysliteľnej veľkosti.