Korene polynómu sa nazývajú aj jeho nuly, pretože korene súXhodnoty, pri ktorých sa funkcia rovná nule. Pokiaľ ide o skutočné hľadanie koreňov, máte k dispozícii niekoľko techník; faktoring je metóda, ktorú budete používať najčastejšie, aj keď grafy môžu byť tiež užitočné.
Koľko koreňov?
Preskúmajte termín najvyššieho stupňa polynómu - teda termín s najvyšším exponentom. Týmto exponentom je počet koreňov, ktoré bude mať polynóm. Takže ak je najvyšší exponent vo vašom polynóme 2, bude mať dva korene; ak je najvyšší exponent 3, bude mať tri korene; a tak ďalej.
Varovania
-
Má to háčik: Korene polynómu môžu byť skutočné alebo imaginárne. „Skutočné“ korene sú členovia množiny označovanej ako reálne čísla, čo je v tomto okamihu vašej matematickej kariéry každé číslo, s ktorým ste zvyknutí. Ovládanie imaginárnych čísel je úplne iná téma, takže si zatiaľ pamätajte na tri veci:
- „Imaginárne“ korene sa objavia, keď máte druhú odmocninu záporného čísla. Napríklad √ (-9).
- Imaginárne korene prichádzajú vždy v pároch.
- Korene polynómu môžu byť skutočné alebo imaginárne. Takže ak máte polynóm 5. stupňa, môže mať päť skutočných koreňov, môže mať tri skutočné korene a dva imaginárne korene atď.
Nájsť korene podľa faktoringu: Príklad 1
Najuniverzálnejším spôsobom hľadania koreňov je čo najväčší faktoring vášho polynómu a následné nastavenie každého výrazu na nulu. Toto vám dáva oveľa väčší zmysel, keď už uvediete niekoľko príkladov. Zvážte jednoduchý polynómX2 – 4X:
Krátke preskúmanie ukazuje, že viete faktorovaťXz obidvoch pojmov polynómu, ktorý vám dáva:
x (x - 4)
Nastavte každý výraz na nulu. To znamená riešenie pre dve rovnice:
x = 0
je prvý člen nastavený na nulu a
x - 4 = 0
je druhý termín nastavený na nulu.
Riešenie prvého volebného obdobia už máte. AkX= 0, potom sa celý výraz rovná nule. TakžeX= 0 je jeden z koreňov alebo núl polynómu.
Teraz zvážte druhé volebné obdobie a vyriešte problém sX. Ak pridáte 4 na obe strany, budete mať:
x - 4 + 4 = 0 + 4
čo zjednodušuje na:
x = 4
Takže akX= 4, potom sa druhý faktor rovná nule, čo znamená, že celý polynóm sa tiež rovná nule.
Pretože pôvodný polynóm bol druhého stupňa (najvyšší exponent boli dva), viete, že pre tento polynóm existujú iba dva možné korene. Obidve ste ich už našli, takže ich musíte iba vymenovať:
x = 0, x = 4
Nájdite korene podľa faktoringu: Príklad 2
Tu je ďalší príklad toho, ako nájsť korene faktoringom, pričom pri tom použijete nejakú efektnú algebru. Zvážte polynómX4 – 16. Krátky pohľad na jeho exponenty vám ukáže, že tento polynóm by mal mať štyri korene; teraz je čas ich nájsť.
Všimli ste si, že tento polynóm možno prepísať ako rozdiel štvorcov? Takže namiestoX4 - 16 rokov, máte:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Čo pomocou vzorca pre rozdiel štvorcov vyúsťuje do nasledovného:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Prvý člen je opäť rozdielom štvorcov. Aj keď už nemôžete viac členiť výraz vpravo, môžete výrazový faktor zľava faktorovať o jeden krok viac:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Teraz je čas nájsť nuly. Rýchlo sa ukáže, že akX= 2, prvý faktor sa bude rovnať nule, a teda celý výraz sa bude rovnať nule.
Podobne, akX= −2, druhý faktor sa bude rovnať nule a teda aj celý výraz.
TakžeX= 2 aX= -2 sú obidve nuly alebo korene tohto polynómu.
Čo však s tým posledným volebným obdobím? Pretože má exponent „2“, mal by mať dva korene. Tento výraz však nemôžete faktorovať pomocou reálnych čísel, na ktoré ste zvyknutí. Museli by ste použiť veľmi pokročilý matematický koncept nazývaný imaginárne čísla alebo, ak chcete, komplexné čísla. To je ďaleko nad rámec vašej súčasnej matematickej praxe, takže zatiaľ stačí poznamenať, že máte dva skutočné korene (2 a −2) a dva imaginárne korene, ktoré necháte nedefinované.
Nájdite korene pomocou grafov
Korene tiež môžete nájsť alebo aspoň odhadnúť pomocou grafov. Každý koreň predstavuje miesto, kde graf funkcie pretínaXos. Takže ak nakreslíte čiaru v grafe a potom si všimniteXsúradnice, kde čiara prechádza cezXosi môžete vložiť odhadXhodnoty týchto bodov do svojej rovnice a skontrolujte, či ste ich dostali správne.
Zvážte prvý príklad, ktorý ste pre polynóm pracovaliX2 – 4X. Ak ho opatrne vytiahnete, uvidíte, že čiara prechádza cezXos priX= 0 aX= 4. Ak zadáte každú z týchto hodnôt do pôvodnej rovnice, získate:
0^2 - 4(0) = 0
takX= 0 bola platná nula alebo root pre tento polynóm.
4^2 - 4(4) = 0
takX= 4 je tiež platná nula alebo root pre tento polynóm. A pretože polynom bol 2. stupňa, viete, že po nájdení dvoch koreňov sa môžete prestať pozerať.