Rovnice sú pravdivé, ak sú obe strany rovnaké. Vlastnosti rovníc ilustrujú rôzne koncepty, ktoré udržujú obe strany rovnice rovnaké, či už sčítate, odčítate, vynásobíte alebo vydelíte. V algebre znamenajú písmená čísla, ktoré nepoznáte, a vlastnosti sú písané písmenami, aby dokázali, že akékoľvek čísla, ktoré do nich zapojíte, budú vždy pravdivé. Tieto vlastnosti si môžete predstaviť ako „pravidlá algebry“, ktoré vám môžu pomôcť pri riešení matematických úloh.
Asociačné a komutatívne vlastnosti
Asociačné a komutatívne vlastnosti oba majú vzorce na sčítanie a násobenie. Thekomutatívna vlastnosť sčítaniahovorí, že ak pridáte dve čísla, nezáleží na tom, v akom poradí ich zadáte. Napríklad 4 + 5 je to isté ako 5 + 4. Vzorec je:
a + b = b + a
Akékoľvek čísla, ku ktorým sa pripájateaabbude vlastnosť stále pravdivá.
Thekomutatívna vlastnosť násobeniavzorec znie
a × b = b × a
To znamená, že pri vynásobení dvoch čísel nezáleží na tom, aké číslo napíšete ako prvé. Stále získate 10, ak vynásobíte 2 × 5 alebo 5 × 2.
Theasociačná vlastnosť sčítaniahovorí, že ak zoskupíte dve čísla a pridáte ich a potom pridáte tretie číslo, nezáleží na tom, aké zoskupenie použijete. Vo forme vzorca to vyzerá
(a + b) + c = a + (b + c)
Napríklad
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {then} 2 + (3 + 4) = 9
Podobne, ak vynásobíte dve čísla a potom tento produkt vynásobíte tretím číslom, nezáleží na tom, aké dve čísla vynásobíte ako prvé. Vo forme vzorca jeasociačná vlastnosť násobeniavyzerá ako
(a × b) c = a (b × c)
Napríklad (2 × 3) 4 sa zjednodušuje na 6 × 4, čo sa rovná 24. Ak zoskupíte 2 (3 × 4), budete mať 2 × 12, čo vám dá tiež 24.
Matematické vlastnosti: prechodné a distribučné
Theprechodný majetokhovorí, že aka = bab = cpotoma = c. Táto vlastnosť sa často používa pri algebraickej substitúcii. Napríklad,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {a} y = 3x + 4 \ text {, potom} 4x - 2 = 3x + 4
Ak viete, že tieto dve hodnoty sú si navzájom rovné, môžete vyriešiť zaX. Keď to viešX, môžete vyriešiť prerAk je to nevyhnutné.
Thedistribučný majetokumožňuje vám zbaviť sa zátvoriek, ak je mimo nich výraz, napríklad 2 (X− 4). Zátvorky v matematike označujú násobenie a rozdeliť niečo znamená, že to omdlíte. Ak teda chcete pomocou distribučnej vlastnosti vylúčiť zátvorky, vynásobte výraz mimo nich znakomkaždýtermín v nich. Takže by ste vynásobili 2 aXzískať 2X, a vynásobíte 2 a −4, aby ste dostali −8. Zjednodušene to vyzerá takto:
2 (x - 4) = 2x - 8
Vzorec na rozdelenie majetku je
a (b + c) = ab + ac
Distribučnú vlastnosť môžete tiež použiť na vytiahnutie spoločného faktora z výrazu. Tento vzorec je
ab + ac = a (b + c)
Napríklad vo výraze 3X+ 9, obidva výrazy sú deliteľné 3. Potiahnite faktor von zo zátvoriek a zvyšok nechajte vo vnútri: 3 (X + 3).
Vlastnosti algebry pre záporné čísla
Theaditívna inverzná vlastnosťhovorí, že ak pridáte jedno číslo s jeho inverznou alebo negatívnou verziou, dostanete nulu. Napríklad −5 + 5 = 0. V príklade zo skutočného sveta, ak niekomu dlžíte 5 dolárov a potom dostanete 5 dolárov, stále nebudete mať peniaze, pretože na zaplatenie dlhu musíte týchto 5 dolárov dať. Vzorec je
a + (−a) = 0 = (−a) + a
Themultiplikatívna inverzná vlastnosťhovorí, že ak vynásobíte číslo zlomkom s číslom v čitateli a týmto číslom v menovateli, dostanete jednu:
a × \ frac {1} {a} = 1
Ak vynásobíte 2 1/2, dostanete 2/2. Akékoľvek číslo nad sebou je vždy 1.
Vlastnosti negáciediktovať násobenie záporných čísel. Ak vynásobíte záporné a kladné číslo, vaša odpoveď bude záporná:
(-a) (b) = -ab \ text {a} - (ab) = -ab
Ak vynásobíte dve záporné čísla, vaša odpoveď bude pozitívna:
- (- a) = a \ text {a} (-a) (- b) = ab
Ak máte záporák mimo zátvorky, je tento zápor pripojený k neviditeľnej 1. To -1 sa distribuuje ku každému výrazu v zátvorke. Vzorec je
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Napríklad
- (x - 3) = -x + 3
pretože vynásobením −1 a −3 získate 3.
Vlastnosti nuly
Theidentitná vlastnosť pridaniauvádza, že ak pridáte akékoľvek číslo a nulu, získate pôvodné číslo:
a + 0 = a
Napríklad,
4 + 0 = 4
Themultiplikatívna vlastnosť nulauvádza, že keď vynásobíte ľubovoľné číslo nulou, vždy získate nulu:
a × 0 = 0
Napríklad
4 × 0 = 0
Pomocounulová vlastnosť produktu,môžete určite vedieť, že ak súčin dvoch čísel je nula, potom jeden z násobkov je nula. Vzorec hovorí, že
\ text {if} ab = 0 \ text {, then} a = 0 \ text {alebo} b = 0
Vlastnosti rovnosti
Vlastnosti rovnosti uvádzajú, že to, čo robíte na jednej strane rovnice, musíte robiť na druhej strane. Thevlastnosť rovnostiuvádza, že ak máte číslo na jednej strane, musíte ho pridať na druhú. Napríklad,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {, potom} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
Theodčítaná vlastnosť rovnostiuvádza, že ak odčítate číslo z jednej strany, musíte ho odčítať od druhej strany. Napríklad,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, potom} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Toto by ti dalo
x + 1 = 2x - 4
aXby sa rovnal 5 v oboch rovniciach.
Themultiplikačná vlastnosť rovnostiuvádza, že ak vynásobíte číslo na jednu stranu, musíte ho vynásobiť druhou. Táto vlastnosť umožňuje riešiť deliace rovnice. Napríklad ak
\ frac {x} {4} = 2
vynásobte obe strany číslom 4 a získateX = 8.
Thedelenie vlastnosť rovnostiumožňuje riešiť multiplikačné rovnice, pretože to, čo rozdelíte na jednej strane, musíte rozdeliť na druhej strane. Napríklad rozdeliť
2x = 8
o 2 na oboch stranách, poddávajúc sa
x = 4