Ako nájsť deriváty

Jednou z dôležitých operácií, ktoré v kalkuse robíte, je hľadanie derivátov. Derivát funkcie sa nazýva aj miera zmeny tejto funkcie. Napríklad, ak x (t) je poloha automobilu v ľubovoľnom čase t, potom derivácia x, ktorá sa píše dx / dt, je rýchlosť automobilu. Deriváciu je možné tiež vizualizovať ako sklon priamky dotýkajúcej sa grafu funkcie. Na teoretickej úrovni takto matematici nachádzajú deriváty. V praxi matematici používajú súbory základných pravidiel a vyhľadávacích tabuliek.

Sklon priamky medzi dvoma bodmi je nárast alebo rozdiel v hodnotách y vydelený behom alebo rozdiel v hodnotách x. Sklon funkcie y (x) pre určitú hodnotu x je definovaný ako sklon priamky, ktorá je dotyčnicová k funkcii v bode [x, y (x)]. Na výpočet sklonu zostrojíme priamku medzi bodom [x, y (x)] a blízkym bodom [x + h, y (x + h)], kde h je veľmi malé číslo. Pre tento riadok je beh alebo zmena hodnoty x h a nárast alebo zmena hodnoty y je y (x + h) - y (x). V dôsledku toho je sklon y (x) v bode [x, y (x)] približne rovný [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Ak chcete získať presný sklon, vypočítajte hodnotu sklonu s tým, ako sa h zmenšuje a zmenšuje, až po „hranicu“, kde ide na nulu. Sklon vypočítaný týmto spôsobom je deriváciou y (x), ktorá sa píše ako y ‘(x) alebo dy / dx.

Môžete použiť metódu sklon / limit na výpočet derivácií funkcií, kde y sa rovná x mocnine a alebo y (x) = x ^ a. Napríklad, ak y sa rovná x kocka, y (x) = x ^ 3, potom dy / dx je limit, pretože h sa rovná nule [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Rozšírenie (x + h) ^ 3 poskytne [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, čo sa po rozdelení zníži na 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 do h. V limite, keď h ide na nulu, idú na nulu aj všetky členy, ktoré majú h v nich. Takže y ‘(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Môžete to urobiť pre hodnoty iné ako 3 a vo všeobecnosti môžete ukázať, že d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Mnoho funkcií možno napísať ako takzvané výkonové rady, ktoré sú súčtom výrazov nekonečného počtu, kde každý má tvar C (n) x ^ n, kde x je premenná, n je celé číslo a C (n) je konkrétne číslo pre každú hodnotu n. Napríklad výkonová séria pre sínusovú funkciu je Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., kde „...“ znamená výrazy pokračujúce na do nekonečna. Ak poznáte výkonový rad pre funkciu, môžete na výpočet derivácie funkcie použiť deriváciu výkonu x ^ n. Napríklad derivácia Sin (x) sa rovná 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., čo je vlastne mocninový rad pre Cos (x).

Deriváty základných funkcií, ako sú mocniny ako x ^ a, exponenciálne funkcie, logovacie funkcie a trigové funkcie, sa nachádzajú pomocou metódy sklonu / limitu, metódy mocninového radu alebo iných metód. Tieto deriváty sú potom uvedené v tabuľkách. Môžete napríklad vyhľadať, že derivácia Sin (x) je Cos (x). Keď sú komplexné funkcie kombináciou základných funkcií, potrebujete špeciálne pravidlá, ako napríklad reťazové pravidlo a produktové pravidlo, ktoré sú tiež uvedené v tabuľkách. Napríklad pomocou pravidla reťazca zistíte, že derivácia Sin (x ^ 2) je 2xCos (x ^ 2). Pomocou pravidla produktu zistíte, že derivácia xSin (x) je xCos (x) + Sin (x). Pomocou tabuliek a jednoduchých pravidiel nájdete deriváciu ľubovoľnej funkcie. Ale keď je funkcia extrémne zložitá, vedci sa niekedy uchýlia k pomoci k počítačovým programom.