Elementárna algebra je jedným z hlavných odvetví matematiky. Algebra predstavuje koncept používania premenných na vyjadrenie čísel a definuje pravidlá manipulácie s rovnicami obsahujúcimi tieto premenné. Premenné sú dôležité, pretože umožňujú formuláciu zovšeobecnených matematických zákonov a umožňujú vkladanie neznámych čísel do rovníc. Práve na tieto neznáme čísla sa zameriavajú problémy algebry, ktoré vás zvyčajne vyzvú na riešenie pre uvedenú premennú. „Štandardné“ premenné v algebre sú často reprezentované ako xay.
Riešenie lineárnych a parabolických rovníc
Akékoľvek konštantné hodnoty presuňte zo strany rovnice s premennou na druhú stranu znamienka rovnosti. Napríklad pre rovnicu
4x ^ 2 + 9 = 16
odčítaním 9 od oboch strán rovnice odstránime 9 od variabilnej strany:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
čo zjednodušuje na
4x ^ 2 = 7
Vydeľte rovnicu koeficientom premenného člena. Napríklad,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {then} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
ktorého výsledkom je
x ^ 2 = 1,75
Zakomponujte správny koreň rovnice, aby ste odstránili exponent premennej. Napríklad,
\ text {if} x ^ 2 = 1,75 \ text {then} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1,75}
ktorého výsledkom je
x = 1,32
Riešenie indikovanej premennej s radikálmi
Izolujte výraz obsahujúci premennú pomocou príslušnej aritmetickej metódy na zrušenie konštanty na strane premennej. Napríklad ak
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
premennú by ste izolovali pomocou odčítania:
\ sqrt {x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Zdvihnite obe strany rovnice na mocninu koreňa premennej, aby ste premennú zbavili. Napríklad,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ text {then} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
ktorý vám dáva
x + 27 = 16
Izolovajte premennú pomocou vhodnej aritmetickej metódy na zrušenie konštanty na strane premennej. Napríklad ak
x + 27 = 16
pomocou odčítania:
x = 16 - 27 = -11
Riešenie kvadratických rovníc
Rovnicu nastavíme na nulu. Napríklad pre rovnicu
2x ^ 2 - x = 1
odčítaním 1 od oboch strán nastavíte rovnicu na nulu
2x ^ 2 - x - 1 = 0
Započítajte alebo doplňte štvorec kvadratického poľa, podľa toho, čo je jednoduchšie. Napríklad pre rovnicu
2x ^ 2 - x - 1 = 0
najľahšie je zohľadniť to:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ text {stane sa} (2x + 1) (x - 1) = 0
Vyriešte rovnicu pre premennú. Napríklad ak
(2x + 1) (x - 1) = 0
potom sa rovnica rovná nule, keď:
2x + 1 = 0
To naznačuje
2x = -1 \ text {, so} x = - \ frac {1} {2}
alebo kedy
\ text {when} x - 1 = 0 \ text {, dostanete} x = 1
Toto sú riešenia kvadratickej rovnice.
Riešiteľ rovníc pre zlomky
Faktor každý menovateľ. Napríklad,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
možno uvažovať o tom, že sa stanú:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
Vynásobte každú stranu rovnice najmenším spoločným násobkom menovateľov. Najmenej spoločným násobkom je výraz, na ktorý sa môže každý menovateľ rovnomerne rozdeliť. Pre rovnicu
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
najmenší spoločný násobok je (X − 3)(X+ 3). Takže
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
sa stáva
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
Zrušiť podmienky a vyriešiť preX. Napríklad zrušenie výrazov pre rovnicu
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
dáva:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Vedie k
2x = 10 \ text {a} x = 5
Zaoberanie sa exponenciálnymi rovnicami
Izolujte exponenciálny výraz zrušením akýchkoľvek konštantných výrazov. Napríklad,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
sa stáva
\ begin {zarovnané} 100 × (14 ^ x) + 6 - 6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ end {zarovnané}
Zrušiť koeficient premennej vydelením oboch strán koeficientom. Napríklad,
100 × (14 ^ x) = 4
sa stáva
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, \\ 14 ^ x = 0,04
Zoberme prirodzený logaritmus rovnice a zvrhneme exponent obsahujúci premennú. Napríklad,
14 ^ x = 0,04
možno zapísať ako (pomocou niektorých vlastností logaritmov):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0,04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
Vyriešte rovnicu pre premennú. Napríklad,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ text {stane sa} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
Riešenie pre logaritmické rovnice
Izolovajte prirodzený protokol premennej. Napríklad rovnica
2 \ ln (3x) = 4 \ text {stáva sa} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
Konvertujte logickú rovnicu na exponenciálnu rovnicu zvýšením logu na exponent príslušnej bázy. Napríklad,
\ ln (3x) = 2
sa stáva:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
Vyriešte rovnicu pre premennú. Napríklad,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
sa stáva
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ text {so} x = 2,46