Rovnice absolútnej hodnoty môžu byť zo začiatku trochu zastrašujúce, ale ak ich budete dodržiavať, čoskoro ich ľahko vyriešite. Keď sa pokúšate vyriešiť rovnice absolútnej hodnoty, pomôže vám to mať na pamäti význam absolútnej hodnoty.
Definícia absolútnej hodnoty
Theabsolútna hodnotačíslaX, napísané |X|, je jeho vzdialenosť od nuly na číselnom riadku. Napríklad −3 je od nuly vzdialený 3 jednotky, takže absolútna hodnota −3 je 3. Píšeme to takto: | −3 | = 3.
Ďalším spôsobom, ako o tom uvažovať, je tenabsolútna hodnotaje pozitívna „verzia“ čísla. Absolútna hodnota −3 je teda 3, zatiaľ čo absolútna hodnota 9, ktorá je už kladná, je 9.
Algebraicky môžeme napísať avzorec pre absolútnu hodnotuto vyzerá takto:
| x | = \ begin {cases} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}
Zober si príklad kdeX= 3. Pretože 3 ≥ 0, absolútna hodnota 3 je 3 (v zápise absolútnej hodnoty je to: | 3 | = 3).
Čo akX= −3? Je to menej ako nula, takže | −3 | = - (-3). Opakom alebo „záporom“ hodnoty -3 je 3, teda | −3 | = 3.
Riešenie rovníc absolútnej hodnoty
Teraz niekoľko rovníc absolútnej hodnoty. Všeobecné kroky pri riešení rovnice absolútnej hodnoty sú:
Izolujte výraz absolútnej hodnoty.
Vyriešte kladnú „verziu“ rovnice.
Vyriešte zápornú „verziu“ rovnice vynásobením množstva na druhej strane znamienka rovnosti −1.
Na konkrétnom príklade krokov sa pozrite na problém uvedený nižšie.
Príklad: Vyriešte rovnicu preX:
| 3 + x | - 5 = 4
Budete musieť dostať | 3 +X| samostatne na ľavej strane znaku rovnosti. Za týmto účelom pridajte 5 na obe strany:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Vyriešiť preXakoby tam znak absolútnej hodnoty nebol!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Je to jednoduché: Stačí odčítať 3 z oboch strán.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Jedným z riešení rovnice je teda toX = 6.
Začnite znova od | 3 +X| = 9. Algebra v predchádzajúcom kroku to ukázalaXmôže byť 6. Ale keďže ide o rovnicu absolútnej hodnoty, je tu ďalšia možnosť, ktorú je potrebné zvážiť. Vo vyššie uvedenej rovnici je absolútna hodnota „niečoho“ (3+X) sa rovná 9. Iste, absolútna hodnota kladných 9 sa rovná 9, ale aj tu existuje iná možnosť! Absolútna hodnota −9 sa tiež rovná 9. Neznáme „niečo“ sa teda mohlo rovnať −9.
Inými slovami:
3 + x = -9
Rýchly spôsob, ako dospieť k tejto druhej verzii, je vynásobenie množstva na druhej strane rovná sa z výrazu absolútnej hodnoty (v tomto prípade 9) o −1, potom vyriešte rovnicu z tam.
Takže:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Odčítaním 3 od oboch strán získate:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Ide teda o tieto dve riešenia:X= 6 aleboX = −12.
A máte to! Tieto druhy rovníc si vyžadujú prax, takže sa nemusíte báť, ak spočiatku máte ťažkosti. Pokračujte v tom a bude to jednoduchšie!