Rozdiel medzi klasickou a kvantovou mechanikou je obrovský. Zatiaľ čo v klasickej mechanike majú častice a objekty jasne definované polohy, v kvantovej mechanike (pred meraním) a dá sa povedať, že by častica mala iba rozsah možných polôh, ktoré sú vlnou opísané z hľadiska pravdepodobnosti funkcie.
Schrodingerova rovnica definuje vlnovú funkciu kvantovo mechanických systémov a naučiť sa ju používať a interpretovať je dôležitou súčasťou každého kurzu kvantovej mechaniky. Jedným z najjednoduchších príkladov riešenia tejto rovnice je častica v škatuli.
Funkcia Wave
V kvantovej mechanike je častica reprezentovaná avlnová funkcia. Toto sa zvyčajne označuje gréckym písmenom psi (Ψ) a závisí to od polohy aj času a obsahuje všetko, čo sa dá o častici vedieť.
Modul tejto funkcie na druhú vám povie pravdepodobnosť, že sa častica nájde na danom miesteXv časet, za predpokladu, že je funkcia „normalizovaná“. To znamená iba upravené tak, aby bolo isté, že ich nájdete na adreseniektorépozíciuXv tom časetkeď sa spočítajú výsledky na každom mieste, tj. podmienka normalizácie hovorí, že:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Pomocou vlnovej funkcie môžete vypočítať očakávanú hodnotu polohy častice v časet, kde očakávaná hodnota znamená iba priemernú hodnotu, ktorú by ste dostaliXak ste meranie opakovali veľakrát. To samozrejme neznamená, že to bude výsledok, ktorý získate pre dané meranie - to jeefektívnenáhodné, aj keď niektoré miesta sú zvyčajne podstatne pravdepodobnejšie ako iné.
Existuje mnoho ďalších veličín, pre ktoré môžete vypočítať očakávané hodnoty, napríklad hodnoty hybnosti a energie, ako aj mnoho ďalších „pozorovateľných údajov“.
Schrodingerova rovnica
Schrodingerova rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá sa používa na zistenie hodnoty vlnovej funkcie a vlastných stavov energie častice. Rovnicu možno odvodiť z úspory energie a výrazov pre kinetickú a potenciálnu energiu častice. Najjednoduchší spôsob, ako to napísať, je:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ čiastočnéΨ} {\ čiastočné t}
Ale tuHpredstavujeHamiltonovský operátor, čo je samo o sebe dosť dlhý výraz:
H = \ frac {ℏℏ} {2m} \ frac {\ čiastočné ^ 2} {\ čiastočné x ^ 2} + V (x)
Tu,mje hmotnosť, ℏ je Planckova konštanta vydelená 2π, aV. (X) je všeobecná funkcia pre potenciálnu energiu systému. Hamiltonián má dve odlišné časti - prvý člen je kinetická energia systému a druhý člen je potenciálna energia.
Každá pozorovateľná hodnota v kvantovej mechanike je spojená s operátorom a v časovo nezávislej verzii Schrodingerovej rovnice je hamiltonián energetickým operátorom. Avšak v časovo závislej verzii zobrazenej vyššie generuje Hamiltonián tiež časový vývoj vlnovej funkcie.
Kombináciou všetkých informácií obsiahnutých v rovnici môžete opísať vývoj častice v priestore a čase a tiež predpovedať možné energetické hodnoty pre ňu.
Časovo nezávislá Schrodingerova rovnica
Časovo závislú časť rovnice je možné odstrániť - na opísanie situácie, ktorá sa nevyvinie s časom - rozdelením vlnovej funkcie na časovú a časovú:Ψ(X, t) = Ψ(X) f(t). Časovo závislé časti je potom možné z rovnice zrušiť, čím sa ponechá časovo nezávislá verzia Schrodingerovej rovnice:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eje energia systému. Toto má presnú formu rovnice vlastných čísel sΨ(X) je vlastná funkcia aEje vlastnou hodnotou, a preto sa časovo nezávislá rovnica často nazýva rovnica vlastného čísla pre energiu kvantovo mechanického systému. Časová funkcia je jednoducho daná:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Časovo nezávislá rovnica je užitočná, pretože zjednodušuje výpočty v mnohých situáciách, keď vývoj času nie je zvlášť dôležitý. Toto je najužitočnejšia forma pre problémy „častice v škatuli“ a dokonca pre určenie energetických hladín elektrónov okolo atómu.
Častica v krabici (nekonečná štvorcová studňa)
Jedným z najjednoduchších riešení časovo nezávislej Schrodingerovej rovnice je častica v nekonečne hlboká štvorcová studňa (t.j. nekonečná potenciálna jamka) alebo jednorozmerná skrinka základne dĺžkaĽ. Samozrejme, ide o teoretické idealizácie, ale poskytuje základnú predstavu o tom, ako vyriešiť Schrodingerovu rovnicu bez zohľadnenia mnohých komplikácií, ktoré existujú v prírode.
S potenciálnou energiou nastavenou na 0 mimo studňu, kde je hustota pravdepodobnosti tiež 0, sa Schrodingerova rovnica pre túto situáciu stáva:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
A všeobecné riešenie rovnice tohto tvaru je:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Pohľad na okrajové podmienky to však môže pomôcť zúžiť. PreX= 0 aX= L, to znamená, že bočné strany schránky alebo steny studne musí byť vlnová funkcia nastavená na nulu. Funkcia kosínus má hodnotu 1, keď je argument 0, takže pre splnenie okrajových podmienok je to konštantaBmusí sa rovnať nule. Toto ponecháva:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Môžete tiež použiť okrajové podmienky na nastavenie hodnoty prek. Pretože funkcia sin ide pri hodnotách na nulunπ, kde kvantové číslon= 0, 1, 2, 3... a tak ďalej, to znamená, keďX = Ľ, rovnica bude fungovať, iba akk = nπ / Ľ. Na záver môžete použiť skutočnosť, že vlnová funkcia musí byť normalizovaná, aby sa zistila hodnotaA(integrovať do všetkých možnýchXhodnoty, teda od 0 doĽ, a potom nastavte výsledok rovný 1 a znova usporiadajte), aby ste sa dostali k finálnemu výrazu:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Pomocou pôvodnej rovnice a tohto výsledku potom môžete vyriešiť preE, ktorý dáva:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Všimnite si, že skutočnosť, ženv tomto výraze znamená, že energetické hladiny súvyčíslený, takže nemôžu braťakýkoľvekhodnotu, ale iba samostatnú sadu konkrétnych hodnôt úrovne energie v závislosti od hmotnosti častice a dĺžky skrinky.
Častica v krabici (konečná štvorcová studňa)
Rovnaký problém sa trochu komplikuje, ak má potenciálna studňa konečnú výšku steny. Napríklad ak potenciálV. (X) má hodnotuV.0 mimo potenciálneho vrtu a 0 v ňom, možno vlnovú funkciu určiť v troch hlavných oblastiach pokrytých problémom. Toto je však viac zapojený proces, takže tu uvidíte iba výsledky a nie celý proces.
Ak je studňa naX= 0 ažX = Ľopäť pre región, kdeX<0 riešením je:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Pre regiónX > Ľ, to je:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Kde
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Pre oblasť vo vnútri studne, kde 0 <X < Ľ, všeobecné riešenie je:
Ψ (x) = C \ sin (šx) + D \ cos (šx)
Kde
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Potom môžete pomocou okrajových podmienok určiť hodnoty konštántA, B, C.aDs tým, že rovnako ako definované hodnoty na stenách studne, vlnová funkcia a jej prvá derivácia musia byť všade spojité a vlnová funkcia musia byť všade konečné.
V iných prípadoch, ako sú plytké skrinky, úzke skrinky a mnoho ďalších konkrétnych situácií, môžete nájsť približné riešenia a rôzne riešenia.