Rotačná kinetická energiapopisuje energiu pohybu vyplývajúcu z rotácie alebo kruhového pohybu objektu. Pripomeňme si tolineárna kinetická energiaomšempohybujúci sa rýchlosťouvje dané 1 / 2mv2. Toto je priamy výpočet pre akýkoľvek objekt pohybujúci sa po priamke. Vzťahuje sa na ťažisko objektu a umožňuje jeho aproximáciu ako bodovú hmotnosť.
Ak teraz chceme popísať kinetickú energiu rozšíreného objektu, ktorý prechádza zložitejším pohybom, výpočet je zložitejší.
Postupné aproximácie by sme mohli vytvoriť rozdelením rozšíreného objektu na malé kúsky, z ktorých každý možno aproximovať ako a hmotu bodu a potom vypočítajte lineárnu kinetickú energiu pre každú hmotu bodu osobitne a spočítajte ich všetky, aby ste našli súčet pre objekt. Čím menšie objekt rozbijeme, tým lepšia bude aproximácia. V limite, kde sa kúsky stanú nekonečne malými, sa to dá dosiahnuť pomocou kalkulu.
Ale máme šťastie! Pokiaľ ide o rotačný pohyb, existuje zjednodušenie. Ak pre rotujúci objekt popíšeme jeho hmotnostné rozloženie okolo osi otáčania z hľadiska jeho momentu zotrvačnosti,
Ja, potom sme schopní použiť jednoduchú rovnicu kinetickej energie rotácie, o ktorej pojednáme ďalej v tomto článku.Moment zotrvačnosti
Moment zotrvačnostije miera toho, ako ťažké je spôsobiť, že objekt zmení svoj rotačný pohyb okolo konkrétnej osi. Moment zotrvačnosti rotujúceho objektu závisí nielen od hmotnosti objektu, ale aj od toho, ako je táto hmota rozložená okolo osi otáčania. Čím ďalej od osi je hmota distribuovaná, tým ťažšie sa mení jej rotačný pohyb, a tým je väčší moment zotrvačnosti.
Jednotky SI pre moment zotrvačnosti sú kgm2 (čo je v súlade s našou predstavou, že to závisí od hmotnosti a od vzdialenosti od osi otáčania). Momenty zotrvačnosti pre rôzne objekty nájdete v tabuľke alebo z počtu.
Tipy
Moment zotrvačnosti pre akýkoľvek objekt možno zistiť pomocou počtu a vzorca pre moment zotrvačnosti bodovej hmoty.
Rovnica rotačnej kinetickej energie
Vzorec pre rotačnú kinetickú energiu je daný vzorcom:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
KdeJaje moment zotrvačnosti objektu aωje uhlová rýchlosť objektu v radiánoch za sekundu (rad / s). Jednotkou SI pre rotačnú kinetickú energiu je joule (J).
Forma vzorca kinetickej energie rotácie je analogická s rovnicou translačnej kinetickej energie; moment zotrvačnosti hrá úlohu hmotnosti a uhlová rýchlosť nahrádza lineárnu rýchlosť. Upozorňujeme, že rovnica rotačnej kinetickej energie poskytuje pre bodovú hmotu rovnaký výsledok ako lineárna rovnica.
Ak si predstavíme bodovú hmotumpohybujúce sa v okruhu polomerurs rýchlosťouv, potom jeho uhlová rýchlosť je ω = v / r a jeho moment zotrvačnosti je mr2. Obidve rovnice kinetickej energie poskytujú podľa očakávania rovnaký výsledok:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ zrušiť {r ^ 2} v ^ 2} {\ zrušiť {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Ak sa objekt otáča a jeho ťažisko sa pohybuje po priamke (ako je to napríklad u valiacej sa pneumatiky), potomcelková kinetická energiaje súčet rotačnej kinetickej energie a translačnej kinetickej energie:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Príklady použitia vzorca rotačnej kinetickej energie
Vzorec rotačnej kinetickej energie má veľa aplikácií. Môže sa použiť na výpočet jednoduchej kinetickej energie rotujúceho objektu a na výpočet kinetickej energie objektu valivý objekt (objekt podstupujúci rotačný aj translačný pohyb) a riešiť ďalší neznámi. Zvážte nasledujúce tri príklady:
Príklad 1:Zem sa točí okolo svojej osi približne raz za 24 hodín. Ak predpokladáme, že má rovnomernú hustotu, aká je jeho rotačná kinetická energia? (Polomer Zeme je 6,37 × 106 m a jeho hmotnosť je 5,97 × 1024 kg.)
Aby sme našli rotačnú kinetickú energiu, musíme najskôr nájsť okamih zotrvačnosti. Približovaním Zeme ako pevnej gule získame:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6,37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ krát10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
Uhlová rýchlosť je 2π radiány / deň. Prevodom na rad / s získate:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ zrušiť {\ text {day}}} \ frac {1 \ zrušiť {\ text {deň}}} {86400 \ text {sekundy}} = 7,27 \ krát10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Takže rotačná kinetická energia Zeme je potom:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ krát 10 ^ {29} \ text {J}
Zábavný fakt: Je to viac ako 10-násobok celkovej energie, ktorú slnko vydá za minútu!
Príklad 2:Rovnomerný valec s hmotnosťou 0,75 kg a polomerom 0,1 m sa valí po podlahe konštantnou rýchlosťou 4 m / s. Aká je jeho kinetická energia?
Celková kinetická energia je daná vzťahom:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
V tomto prípade I = 1/2 mr2 je moment zotrvačnosti pre plný valec aωsúvisí s lineárnou rýchlosťou cez ω = v / r.
Zjednodušenie výrazu pre celkovú kinetickú energiu a pripojenie hodnôt dáva:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Všimnite si, že sme ani nemuseli použiť polomer! Zrušilo sa to kvôli priamemu vzťahu medzi rýchlosťou otáčania a lineárnou rýchlosťou.
Príklad 3:Študent na bicykli dobehne z odpočinku dolu kopcom. Ak je vertikálna výška kopca 30 m, ako rýchlo ide študent dole pod kopcom? Predpokladajme, že bicykel váži 8 kg, jazdec váži 50 kg, každé koleso váži 2,2 kg (zahrnuté v hmotnosti bicykla) a každé koleso má priemer 0,7 m. Priblížte kolesá ako obruče a predpokladajte, že trenie je zanedbateľné.
Tu môžeme pomocou mechanickej úspory energie nájsť konečnú rýchlosť. Potenciálna energia na vrchole kopca sa premieňa na kinetickú energiu v dolnej časti. Táto kinetická energia je súčtom translačnej kinetickej energie celého systému osoba + bicykel a kinetických energií rotácie pneumatík.
Celková energia systému:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17 052 \ napísať {J}
Vzorec pre celkovú energiu z hľadiska kinetických energií na dne kopca je:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {pneumatiky} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ krát m_ {pneumatika} \ krát r_ {pneumatika} ^ 2) (v / r_ {pneumatika}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {pneumatika} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {pneumatika} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Riešenie prevdáva:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {plášť} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Nakoniec po pripojení čísel dostaneme našu odpoveď:
v = \ sqrt {\ frac {17 052 \ text {J}} {2,2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}