Súčin dvoch skalárnych veličín je skalárny a súčin skalárneho vektora je vektor, ale čo súčin dvoch vektorov? Je to skalárny alebo iný vektor? Odpoveď je, že to môže byť buď!
Existujú dva spôsoby, ako spoločne množiť vektory. Jeden je braním ich bodového súčinu, ktorý dáva skalár, a druhým je ich krížový súčin, ktorý dáva ďalší vektor. Aký produkt použiť, závisí od konkrétneho scenára a množstva, ktoré sa snažíte nájsť.
Theskalárny súčinsa niekedy označuje akoskalárny súčinalebovnútorný produkt. Geometricky si môžete predstaviť bodový súčin medzi dvoma vektormi ako spôsob znásobenia vektorových hodnôt, ktoré počíta iba príspevky v rovnakom smere.
- Poznámka: Bodové výrobky môžu byť negatívne alebo pozitívne, ale táto značka nie je ukazovateľom smeru. Aj keď je v jednom rozmere vektorový smer často označený znamienkom, skalárne veličiny môžu mať tiež spojené značky, ktoré nie sú smerovými ukazovateľmi. Dlh je len jedným z mnohých príkladov.
Definícia bodového produktu
Bodový súčin vektorova = (aX, ar)ab = (narX, br)v štandardnom karteziánskom súradnicovom systéme je definovaný takto:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Keď vezmete bodový súčin vektora so sebou, vznikne zaujímavý vzťah:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Kde |a| je veľkosť (dĺžka)aPytagorovou vetou.
Iný vzorec bodového súčinu možno odvodiť pomocou zákona kosínusov. Toto sa deje nasledovne:
Zvážte nenulové vektoryaabspolu s ich rozdielovým vektoroma - b. Usporiadajte tri vektory tak, aby vytvorili trojuholník.
Zákon kosínov z trigonometrie nám hovorí, že:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
A pomocou definície bodového súčinu dostaneme:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Nastavením oboch výrazov na rovnaké a potom zjednodušením získame:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ zrušiť {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implikuje \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Táto formulácia umožňuje, aby vstúpila do hry naša geometrická intuícia. Množstvo |a| cos (θ) je veľkosť projekcie vektoraana vektorb.
Môžeme si teda predstaviť bodový súčin ako projekciu jedného vektora na druhý a potom súčin ich hodnôt. Inými slovami, možno ho považovať za produkt jedného vektora s veľkosťou druhého vektora v rovnakom smere ako on sám.
Vlastnosti bodového produktu
Nasleduje niekoľko vlastností bodkového produktu, ktoré by vám mohli pripadať užitočné:
\ # \ text {1. Ak} \ theta = 0 \ text {, potom} \ \ tučné {a \ cdot b} = | \ tučné {a} || \ tučné {b} |
Je to tak preto, lebo cos (0) = 1.
\ # \ text {2. Ak} \ theta = 180 \ text {, potom} \ \ tučné {a \ cdot b} = - | \ tučné {a} || \ tučné {b} |
Je to tak preto, lebo cos (180) = -1.
\ # \ text {3. Ak} \ theta = 90 \ text {, potom} \ tučne {a \ cdot b} = 0
Je to tak preto, lebo cos (90) = 0.
- Poznámka: Pre 0 <
θ
<90, bodový produkt bude kladný a pre 90 <
θ
<180, bodový súčin bude záporný.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Vyplýva to z uplatnenia komutatívneho zákona na definíciu bodového produktu.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Dôkaz:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Dôkaz:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ tučne {b}
Ako nájsť produkt s bodkami
Príklad 1:Vo fyzike práca vykonaná silouFna objekte pri jeho premiestňovaníd, je definované ako:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Kde θ je uhol medzi vektorom sily a vektorom posunutia.
Množstvo práce vykonanej silou je údajom o tom, ako veľmi táto sila prispela k posunu. Ak je sila v rovnakom smere ako posunutie (cos (θ) = 0), prispieva k nej maximálne. Ak je to kolmé na posunutie (cos (Ѳ) = 90), neprispieva vôbec. A ak je oproti posunutiu, (cos (θ) = 180), znamená to negatívny príspevok.
Predpokladajme, že dieťa tlačí vláčik cez dráhu pôsobením sily 5 N pod uhlom 25 stupňov vzhľadom na líniu dráhy. Koľko práce urobí dieťa vo vlaku, keď ho presunie o 0,5 m?
Riešenie:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ stupeň \\
Pomocou definície práce s bodovým produktom a pripojením hodnôt dostaneme:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0,5 \ times \ cos (25) = \ v krabici {2,27 \ text {J}}
Z tohto konkrétneho príkladu by malo byť ešte jasnejšie, že pôsobenie sily kolmej na smer posunutia nefunguje. Ak dieťa tlačilo vlak v pravom uhle k trati, vlak sa nebude pohybovať vpred ani vzad po trati. Je tiež intuitívne, že práca, ktorú dieťa vo vlaku urobí, sa bude zväčšovať so zmenšujúcim sa uhlom a silou a posunom sú bližšie k vyrovnaniu.
Príklad 2:Sila je ďalším príkladom fyzickej veličiny, ktorú je možné vypočítať pomocou bodového súčinu. Vo fyzike sa sila rovná práci vydelenej časom, ale dá sa tiež zapísať ako bodový súčin sily a rýchlosti, ako je to znázornené:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Kdevje rýchlosť.
Zvážte predchádzajúci príklad dieťaťa, ktoré sa hrá s vlakom. Ak sa nám povie, že pôsobí rovnaká sila, ktorá spôsobí, že vlak sa bude pohybovať rýchlosťou 2 m / s po trati, potom môžeme použiť bodový súčin na nájdenie sily:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
Príklad 3:Ďalším príkladom, kde sa vo fyzike používajú bodové produkty, je prípad magnetického toku. Magnetický tok je množstvo magnetického poľa prechádzajúce danou oblasťou. Nachádza sa ako bodový súčin magnetického poľaBs oblasťouA. (Smer vektora oblasti jenormálnealebo kolmo na povrch oblasti.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Predpokladajme, že pole 0,02 Tesla prechádza drôtenou slučkou s polomerom 10 cm, pričom s normálou vytvára uhol 30 stupňov. Aký je tok?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ krát (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Keď sa tento tok zmení, buď zmenou hodnoty poľa, zmenou oblasti slučky alebo zmenou uhol otočením slučky alebo zdroja poľa, bude prúd indukovaný v slučke a generuje sa elektrina!
Opäť si všimnite, ako je uhol relevantný intuitívnym spôsobom. Keby bol uhol 90 stupňov, znamenalo by to, že pole by ležalo v rovnakej rovine ako oblasť a slučkou by neprešli žiadne siločiary, čo by viedlo k žiadnemu toku. Množstvo toku sa potom zvyšuje, čím bližšie sa uhol medzi poľom a normálou dostane na 0. Bodový produkt nám umožňuje určiť, aká veľká časť poľa je v smere kolmom na povrch, a teda prispieva k toku.
Vektorová projekcia a bodový produkt
V predchádzajúcich častiach bolo spomenuté, že bodový produkt je možné považovať za spôsob premietania jedného vektora na druhý a následného znásobenia ich veľkostí. Preto by nemalo byť prekvapujúce, že vzorec pre vektorovú projekciu možno odvodiť z bodového súčinu.
S cieľom premietnuť vektorana vektorb, vezmeme bodový súčin zasjednotkový vektorv smereb, a potom vynásobte tento skalárny výsledok rovnakým jednotkovým vektorom.
Jednotkový vektor je vektor dĺžky 1, ktorý leží v konkrétnom smere. Jednotkový vektor v smere vektorabje jednoducho vektorbvydelené veľkosťou:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Táto projekcia je teda:
\ text {priemet} \ bold {a} \ text {onto} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Veľký) \ tučný {b}
Produkt Dot vo vyššej dimenzii
Tak, ako existujú vektory vo vyššej dimenzii, existuje aj bodový súčin. Predstavte si príklad, keď dieťa opäť tlačí vlak. Predpokladajme, že tlačí tak nadol, ako aj pod uhlom k boku dráhy. V štandardnom súradnicovom systéme by bolo potrebné predstavovať vektory sily a posunu ako trojrozmerné.
Vnrozmeroch je bodový produkt definovaný takto:
\ bold {a \ cdot b} = \ nadmerné nastavenie {n} {\ podmnožina {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Stále platia všetky rovnaké vlastnosti bodového produktu z minulosti a zákon kosínusov dáva opäť vzťah:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Ak sa veľkosť každého vektora zistí pomocou nasledujúceho, opäť v súlade s Pytagorovou vetou:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Ako nájsť bodový produkt v troch dimenziách
Príklad 1:Bodový produkt je obzvlášť užitočný, keď potrebujete zistiť uhol medzi dvoma vektormi. Predpokladajme napríklad, že chceme určiť uhol medzia= (2, 3, 2) ab= (1, 4, 0). Aj keď načrtnete tieto dva vektory v 3-priestore, môže byť veľmi ťažké obopnúť hlavu okolo geometrie. Ale matematika je celkom jasná a vychádza z toho, že:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ znamená \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ tučné {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ tučné {b} |} \ veľké)
Potom vypočítajte bodový súčin zaab:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
A výpočet veľkostí každého vektora:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12
A nakoniec všetko zapojíme a získame:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Veľký (\ frac {14} {4,12 \ krát 4,12} \ Veľký) = \ zabalený {34,4 \ stupeň}
Príklad 2:Kladný náboj leží v súradnicovom bode (3, 5, 4) v trojrozmernom priestore. V ktorom bode pozdĺž čiary smerujúcej v smere vektoraa= (6, 9, 5) je elektrické pole najväčšie?
Riešenie: Z našich poznatkov o tom, ako súvisí sila elektrického poľa so vzdialenosťou, vieme, že ide o bod na riadku, ktorý je najbližšie k kladnému náboju, je miesto, kde bude pole najsilnejší. Z našich znalostí o bodových produktoch by sme mohli hádať, že použitie premietacieho vzorca tu má zmysel. Tento vzorec by nám mal dať vektor, ktorého hrot je presne v bode, ktorý hľadáme.
Musíme vypočítať:
\ text {Projekcia} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Veľké) \ tučné {a}
Ak to chcete urobiť, najskôr nájdeme |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Potom bodový produkt:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ krát6 + 5 \ krát9 + 4 \ krát5 = 83
Vydelením tohtoa|2 dáva 83/142 = 0,585. Potom tento skalár vynásobteadáva:
0,585 \ bold {a} = 0,585 \ krát (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Preto je bod pozdĺž čiary, kde je pole najsilnejšie, (3,51; 5,27; 2,93).