Integrácia funkcií je jednou z hlavných aplikácií počtu. Niekedy je to priame, ako napríklad:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
V pomerne komplikovanom príklade tohto typu môžete na integráciu neurčitých integrálov použiť verziu základného vzorca:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
kdeAaC.sú konštanty.
Pre tento príklad
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integrácia základných funkcií s druhou odmocninou
Na povrchu je integrácia druhej odmocniny nepríjemná. Môžete byť napríklad stymied:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Môžete ale vyjadriť druhú odmocninu ako exponent, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integrál sa preto stáva:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
na ktorý môžete použiť obvyklý vzorec zhora:
\ begin {zarovnané} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {zarovnané}
Integrácia zložitejších funkcií odmocniny
Niekedy môžete mať pod radikálnym znakom viac ako jeden výraz, ako v tomto príklade:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Môžeš použiťu-striedanie pokračovať. Tu ste nastaviliurovná množstvu v menovateli:
u = \ sqrt {x - 3}
Vyriešte to preXštvorcovými stranami oboch strán a odčítaním:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
To vám umožní získať dx z hľadiskauprevzatím derivátuX:
dx = (2u) du
Nahradenie späť do pôvodného integrálu dáva
\ begin {aligned} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {zarovnané}
Teraz to môžete integrovať pomocou základného vzorca a výrazuuv zmysleX:
\ begin {aligned} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {zarovnané}