Trigonometria sa môže javiť ako celkom abstraktný predmet. Zdá sa, že tajomné výrazy ako „hriech“ a „cos“ v skutočnosti ničím nezodpovedajú a je ťažké ich pochopiť ako pojmy. Kružnica jednotiek s tým podstatne pomáha a ponúka priame vysvetlenie toho, aké čísla získate, keď vezmete sínus, kosínus alebo tangens uhla. Pre všetkých študentov prírodovedných predmetov alebo matematiky môže pochopenie jednotkového kruhu skutočne upevniť vaše chápanie trigonometrie a toho, ako tieto funkcie používať.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Jednotková kružnica má polomer jedna. Predstavte sixysúradnicový systém začínajúci v strede tohto kruhu. Uhly bodov sa merajú od miesta, odkiaľX= 1 ar= 0, na pravej strane kruhu. Pri pohybe proti smeru hodinových ručičiek sa uhly zväčšujú.
Pomocou tohto rámca arprer-koordinovaný aXpreX- súradnica bodu v kružnici:
hriechθ = r
cosθ = X
A následne:
opálenieθ = r / X
Čo je kruh jednotiek?
„Jednotková“ kružnica má polomer 1. Inými slovami, vzdialenosť od stredu kruhu k akejkoľvek časti okraja je vždy 1. Na jednotke merania vlastne nezáleží, pretože najdôležitejšie na jednotkovej kružnici je to, že uľahčuje mnoho rovníc a výpočtov.
Slúži tiež ako užitočný základ pre skúmanie definícií uhlov. Predstavte si, že stred kruhu leží v strede súradnicového systému sX-osa prebiehajúca vodorovne ar-osa prebiehajúca zvisle. Kruh pretínaX- os oX = 1, r= 0. Vedci a matematici definujú uhol z tohto bodu, ktorý sa pohybuje proti smeru hodinových ručičiek. Takže pointaX =1, r= 0 na kružnici je v uhle 0 °.
Definície hriechu a cosu s jednotkovým kruhom
Bežné definície hriechu, cosu a tanu, ktoré majú študenti, sa týkajú trojuholníkov. Uvádzajú:
\ sin θ = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {susedné}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
„Protiklad“ označuje dĺžku strany trojuholníka oproti uhlu, „susedný“ označuje dĺžka strany vedľa uhla a „prepona“ označuje dĺžku diagonálnej strany trojuholník.
Predstavte si, že by ste vytvorili trojuholník tak, aby preponou bol vždy polomer jednotkovej kružnice, pričom jeden roh bol na okraji kruhu a jeden v jeho strede. To znamená, že prepona = 1 vo vyššie uvedených rovniciach, takže prvé dve sa stanú:
\ sin θ = \ frac {\ text {naproti}} {1} = \ text {oproti} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {susedný}} {1} = \ text {susedný} \\
Ak urobíte dotyčný uhol v strede kruhu, opak je práve tenr-koordinovaný a susedný je lenX- súradnica bodu na kružnici, ktorá sa dotýka trojuholníka. Inými slovami, hriech vraciar- súradnica na jednotkovej kružnici (pomocou súradníc, ktoré začínajú v strede) pre daný uhol a cos vrátiX-koordinovaný. Z tohto dôvodu cos (0) = 1 a sin (0) = 0, pretože v tomto okamihu sú to súradnice. Rovnako cos (90) = 0 a sin (90) = 1, pretože toto je bod sX= 0 ar= 1. Vo forme rovnice:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Na základe toho je tiež ľahké pochopiť negatívne uhly. Záporné uhly (merané v smere hodinových ručičiek od východiskového bodu) majú rovnakéXsúradnica ako zodpovedajúci kladný uhol, takže:
\ cos -θ = \ cos θ
Avšakr-koordinované prepínače, čo znamená, že
\ sin -θ = - \ sin θ
Definícia tan s jednotkovým kruhom
Vyššie uvedená definícia tan je:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Ale s definíciami jednotkových kruhov hriechu a cos, môžete vidieť, že je to ekvivalentné s:
\ tan θ = \ frac {\ text {oproti}} {\ text {susedné}}
Alebo uvažujeme v zmysle súradníc:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
To vysvetľuje, prečo je opálenie nedefinované pre 90 ° alebo -270 ° a 270 ° alebo -90 ° (kdeX= 0), pretože nemôžete deliť nulou.
Grafické znázornenie trigonometrických funkcií
Grafy sin alebo cos sa uľahčia, keď si spomeniete na jednotkový kruh. TheX- súradnica sa plynulo mení, keď sa pohybujete po kruhu, začínajúc od 1 a klesajúcou na minimum −1 pri 180 °, a potom sa zvyšujú rovnakým spôsobom. Funkcia sin robí to isté, ale najskôr sa zvýši na maximálnu hodnotu 1 pri 90 °, potom použije rovnaký vzor. Hovorí sa, že tieto dve funkcie sú navzájom 90 ° mimo „fázy“.
Grafické opálenie vyžaduje rozdelenierodX, a preto je graf komplikovanejší a obsahuje aj body, kde je nedefinované.