Len čo začnete robiť trigonometriu a počet, môžete naraziť na výrazy ako hriech (2θ), kde sa zobrazí výzva na vyhľadanie hodnotyθ. Hranie pokusov a omylov pomocou grafov alebo kalkulačky na nájdenie odpovede by sa pohybovalo od pretiahnutej nočnej mory po úplne nemožné. Našťastie sú tu totožnosti s dvojitým uhlom, ktoré vám pomôžu. Toto sú špeciálne prípady takzvaného zloženého vzorca, ktorý porušuje funkcie foriem (A + B) alebo (A – B) dole do funkcií práveAaB.
Dvojité uhly pre sínus
Existujú tri identity s dvojitým uhlom, po jednej pre funkcie sínus, kosínus a tangenta. Ale sínusovú a kosínovú identitu je možné zapísať viacerými spôsobmi. Tu sú dva spôsoby zápisu dvojitej identity pre funkciu sínus:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvojité uhly pre kosínus
Existuje ešte viac spôsobov zápisu dvojitej identity pre kosínus:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvojúrovňová identita pre tangens
Milosrdne existuje len jeden spôsob, ako napísať identitu dvojitého uhla pre tangensovú funkciu:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Používanie dvojitých uhlov
Predstavte si, že stojíte pred pravouhlým trojuholníkom, kde poznáte dĺžku jeho strán, ale nie mieru jeho uhlov. Boli ste požiadaní, aby ste našliθ, kdeθje jeden z uhlov trojuholníka. Ak má prepona trojuholníka 10 jednotiek, strana susediaca s vašim uhlom meria 6 jednotiek a strana oproti uhlu meria 8 jednotiek, nevadí, že neviete mieruθ; na vyhľadanie odpovede môžete použiť svoje znalosti sínusového a kosínusového plus jedného z dvojitých uhlových vzorcov.
Po výbere uhla môžete definovať sínus ako pomer opačnej strany cez preponu a kosínus ako pomer susednej strany nad preponou. V uvedenom príklade teda máte:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Tieto dva výrazy nájdete, pretože sú najdôležitejšou stavebnou jednotkou pre vzorce s dvojitým uhlom.
Pretože na výber je toľko vzorcov dvojitého uhla, môžete zvoliť ten, ktorý vyzerá ľahšie na výpočet a vráti požadovaný typ informácií. V tomto prípade preto, lebo poznáte hriechθa cosθuž je zrejmé, že najpohodlnejší výraz je:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Hodnoty sinθ a cosθ už poznáte, takže ich dosaďte do rovnice:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Po zjednodušení budete mať:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Väčšina trigonometrických grafov je uvedená v desatinných číslach, takže ďalej pracujte s rozdelením predstavovaným zlomkom a prevádzajte ho do desatinného tvaru. Teraz máte:
\ sin (29) = 0,96
Na záver vyhľadajte inverzný sínus alebo arkusín 0,96, ktorý sa píše ako hriech −1(0.96). Alebo inými slovami, použite svoju kalkulačku alebo graf na priblíženie uhla so sínusom 0,96. Ako sa ukázalo, je to takmer presne rovných 73,7 stupňov. Takže 2θ= 73,7 stupňa.
Každú stranu rovnice vydelíme 2. Získate tak:
θ = 36,85 \ text {stupne}