Ak vidíte výrazy 32 a 53, môžete s úspechom oznámiť, že to znamenajú „tri na druhú“ a „päť kockov“, a budete môcť hľadať ekvivalentné čísla bez toho, exponenty, čísla predstavované hornými indexmi vpravo hore. V tomto prípade ide o čísla 9 a 125.
Ale čo keď namiesto, povedzme, jednoduchej exponenciálnej funkcie, ako je y = x 3, musíte namiesto toho vyriešiť rovnicu ako y = 3X. Tu sa x, závislá premenná, javí ako exponent. Existuje spôsob, ako túto premennú strhnúť zo svojho bidla, aby sa s ňou ľahšie matematicky vyrovnalo?
V skutočnosti existuje a odpoveď spočíva v prirodzenom doplnení exponentov, ktorými sú zábavné a užitočné množstvá známe ako logaritmy.
Čo sú to súperi?
An exponent, nazývaný tiež a moc, je komprimovaný spôsob samostatného vyjadrenia opakovaného násobenia čísla. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Akékoľvek číslo zvýšené na mocninu 1 si zachováva rovnakú hodnotu; akékoľvek číslo s exponentom 0 sa rovná 1. Napríklad 721 = 72; 720 = 1.
Exponenti môžu pôsobiť negatívne a vytvárať vzťah
X−n= 1 / (xn). Môžu byť tiež vyjadrené ako zlomky, napríklad 2(5/3). Ak sú vyjadrené ako zlomky, čitateľ aj menovateľ musia byť celé čísla.Čo sú to logaritmy?
Logaritmy alebo „logy“ možno považovať za exponenty vyjadrené ako niečo iné ako sila. To pravdepodobne veľmi nepomáha, takže možno jeden alebo dva príklady.
Vo výraze 103 = 1,000, číslo 10 je základňa, a je povýšený na tretiu mocnosť (alebo sila tri). Môžete to vyjadriť ako „základ 10 zvýšený na tretiu mocninu sa rovná 1 000“.
Príklad logaritmu je log10(1,000) = 3. Upozorňujeme, že čísla a ich vzájomné vzťahy sú rovnaké ako v predchádzajúcom príklade, boli však presunuté. Slovom to znamená, „že základňa protokolu 10 z 1 000 sa rovná 3.“
Veličina vpravo je sila, na ktorú sa musí zdvihnúť základňa 10, aby sa rovnala argument, alebo vstup protokolu, hodnota v zátvorkách (v tomto prípade 1 000). Táto hodnota musí byť kladná, pretože základňa - ktorá môže byť číslo iné ako 10, ale pri vynechaní sa predpokladá, že je 10, napríklad „log 4“ - je tiež vždy kladná.
Užitočné pravidlá logaritmu
Ako teda môžete ľahko pracovať medzi protokolmi a exponentmi? Niekoľko pravidiel o správaní protokolov vám môže pomôcť pri riešení problémov s exponentmi.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Riešenie pre exponenta
S vyššie uvedenými informáciami ste pripravení vyskúšať riešenie pre exponenta v rovnici.
Príklad: Ak 50 = 4X, čo je x?
Ak vezmete protokol na základňu 10 každej strany a vynecháte explicitnú identifikáciu základne, stane sa z nej protokol 50 = protokol 4X. Z vyššie uvedeného poľa viete, že protokol 4X = x log 4. Toto vám zostáva
log 50 = x log 4, alebo x = (log 50) / (log 4).
Pomocou svojej kalkulačky alebo elektronického zariadenia podľa výberu zistíš, že riešenie je (1,689 / 0,602) = 2.82.
Riešenie exponenciálnych rovníc pomocou napr
Rovnaké pravidlá platia, ak je základňa e, takzvaný prirodzený logaritmus, ktorá má hodnotu asi 2,7183. Toto by ste mali mať tiež na svojej kalkulačke. Aj táto hodnota má svoj vlastný zápis: logex sa píše jednoducho „ln x“.
- Funkcia y = eX i, pričom e nie je premenná, ale konštanta s touto hodnotou, je jedinou funkciou so sklonom rovným vlastnej výške pre všetky x a y.
- Rovnako ako log1010X = x, ln eX = x pre všetky x.
Príklad: Vyriešte rovnicu 16 = e2,7x.
Ako je uvedené vyššie, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, takže x = 2/77 / 2,7 = 1.03.