Zatiaľ čo anglické slová „sequence“ a „series“ majú podobný význam, v matematike sú to úplne odlišné pojmy. Sekvencia je zoznam čísel umiestnených v definovanom poradí, zatiaľ čo séria predstavuje súčet takéhoto zoznamu čísel. Existuje mnoho druhov sekvencií, vrátane tých, ktoré sú založené na nekonečných zoznamoch čísel. Rôzne sekvencie a zodpovedajúce série majú odlišné vlastnosti a môžu poskytnúť prekvapivé výsledky.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Sekvencie sú zoznamy čísel umiestnené v určitom poradí podľa daných pravidiel. Séria zodpovedajúca postupnosti je súčtom čísel v tejto postupnosti. Série môžu byť aritmetické, to znamená, že existuje pevný rozdiel medzi číslami série, alebo geometrické, čo znamená, že existuje pevný faktor. Nekonečné série nemajú konečné číslo, ale za určitých podmienok môžu mať stále pevnú sumu.
Typy sekvencií a sérií
Bežné sekvencie sú aritmetické alebo geometrické. V aritmetickej postupnosti sa každé číslo alebo výraz sekvencie líši od predchádzajúceho výrazu o rovnaké množstvo. Napríklad ak je rozdiel aritmetickej sekvencie 2, zodpovedajúca aritmetická sekvencia môže byť 1, 3, 5... Ak je rozdiel -3, sekvencia môže byť 4, 1, -2... Aritmetická postupnosť je definovaná počiatočným číslom a rozdielom.
Pre geometrické postupnosti sa výrazy líšia faktorom. Napríklad sekvencia s faktorom 2 môže byť 2, 4, 8... a postupnosť s faktorom 0,75 môže byť 32, 24, 18... Geometrická postupnosť je definovaná počiatočným číslom a faktorom.
Typy sérií závisia od postupnosti, ktorá sa pridáva. Aritmetická séria pridáva výrazy aritmetickej postupnosti a geometrická séria pridáva geometrickú postupnosť.
Konečné a nekonečné sekvencie a série
Sekvencie a zodpovedajúce rady môžu byť založené na pevnom počte termínov alebo na nekonečnom počte. Konečná postupnosť má počiatočné číslo, rozdiel alebo faktor a pevný celkový počet výrazov. Napríklad prvá aritmetická sekvencia vyššie s ôsmimi členmi bude 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Prvá geometrická sekvencia vyššie so šiestimi členmi bude 2, 4, 8, 16, 32, 64. Zodpovedajúci aritmetický rad by mal hodnotu 64 a geometrický rad 126. Nekonečné sekvencie nemajú pevný počet členov a ich členy môžu rásť do nekonečna, klesať na nulu alebo sa priblížiť k pevnej hodnote. Zodpovedajúca séria môže mať tiež nekonečný, nulový alebo pevný výsledok.
Konvergentné a divergentné série
Nekonečné rady sa líšia, ak sa súčet blíži k nekonečnu, keď sa zvyšuje počet výrazov. Nekonečná séria je konvergentná, ak sa jej súčet blíži k nekonečnej hodnote, ako je nula alebo iné pevné číslo. Série sú konvergentné, ak sa podmienky základnej sekvencie rýchlo blížia k nule.
Séria pridávajúca výrazy nekonečnej postupnosti 1, 2, 4... sa líši, pretože podmienky sekvencie neustále rastú, čo umožňuje súčtu dosiahnuť nekonečnú hodnotu so zvyšujúcim sa počtom výrazov. Séria 1, 0,5, 0,25... je konvergentné, pretože výrazy sa rýchlo stávajú veľmi malými.
Aj keď sú sekvencie zoradené ako zoznamy čísel a radov, súčty, oba môžu byť dôležitým nástrojom v vyhodnocovanie množín čísel a vlastnosti konvergencie alebo divergencie môžu mať skutočný život dôsledky. Divergentná séria často predstavuje nestabilný stav, zatiaľ čo konvergentná séria často znamená, že proces alebo štruktúra budú stabilné.