Fyzici porovnávajú momenty zotrvačnosti rotujúcich objektov s cieľom určiť, ktoré z nich budú ťažšie zrýchliť alebo spomaliť. To platí pre situácie v reálnom svete, ako je zisťovanie, ktoré objekty sa budú v pretekoch kotúľať najrýchlejšie.
Faktory, ktoré menia moment zotrvačnosti objektu, sú jeho hmotnosť, spôsob rozloženia tejto hmoty - určený jeho tvarom a polomerom - a os otáčania, na ktorej sa otáča.
Okamžiky zotrvačnosti pre spoločné objekty
Tento diagram zobrazuje rovnice momentu zotrvačnosti pre niekoľko bežných tvarov rotujúcich okolo rôznych osí rotácie.
Porovnávanie momentov zotrvačnosti
Tu je niekoľko príkladov fyzikálnych problémov, ktoré si vyžadujú použitie momentov zotrvačnosti na porovnanie rôznych objektov.
1. Ktoré z nasledujúcich možností sa začnú točiť najľahšie: 7 kg dutá guľa s polomerom 0,2 m alebo 10 kg plná guľa s rovnakým polomerom?
Začnite nájdením momentov zotrvačnosti pre každý objekt. Podľa tabuľky platí rovnica pre adutá guľaje:I = 2 / 3mr2, a rovnica pre apevná guľajeI = 2 / 5mr2.
Nahradením daných hmotností a polomerov:
Dutá guľa: I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Pevné sféra: I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
Moment zotrvačnosti jemenšie pre pevnú guľu, tak aj budenajľahšie sa začne točiť.
2. Akým spôsobom je najťažšie otočiť ceruzku: okolo jej dĺžky, okolo stredu alebo na konci? Predpokladajme, že ceruzka má dĺžku 10 cm (0,1 m) a polomer prierezu 3 mm (0,003 m).
V takom prípade na hmotnosti ceruzky nezáleží, pretože sa nemení.
Ak chcete zistiť, ktoré rovnice platia, aproximujte tvar ceruzky ako valca.
Potom sú potrebné tri rovnice zotrvačných momentov:
Valec o svojej dĺžke(os prechádza celým predmetom, od špičky po gumu, teda polomer k osi otáčaniajepolomer prierezu):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Valec okolo jeho stredu(držané v strede, takže polomer jeho otáčania jepolovicu jeho dĺžky):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083 m
Valec okolo jeho konca(držané špičkou alebo gumou, takže polomer k osi otáčaniajejeho dĺžka):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Čím vyšší je moment zotrvačnosti objektu, tým ťažšie je začať (alebo zastaviť) jeho rotáciu.Pretože každá hodnota sa vynásobí rovnakoum, čím väčšia je hodnota zlomku vynásobená r2, tým vyšší bude moment zotrvačnosti. V tomto prípade to je 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045ťažšie točiť ceruzkou okolo jej koncanež okolo ostatných dvoch osí.
3. Ktorý objekt sa dostane na dno rampy ako prvý, ak majú rovnakú hmotnosť a polomer a sú uvoľnené z vrchu súčasne: obruč, valec alebo pevná guľa? Ignorujte trenie.
Kľúčom k odpovedi na tento problém je pochopenieúspora energie. Ak majú všetky objekty rovnakú hmotnosť a začínajú v rovnakej výške, musia začínať rovnakým počtomgravitačná potenciálna energia. To jecelková energiamajú k dispozícii na premenu na kinetickú energiu a pohyb po rampe.
Pretože objekty sa budú kotúľať po rampe, musia svoju počiatočnú potenciálnu energiu premieňať na oberotačné a lineárne kinetické energie.
Tu je háčik: čím viac energie z tohto celkového koláča vezme objektzačať sa točiť, tým menej bude mať k dispozícii prelineárny pohyb. To znamenáčím jednoduchšie je nechať objekt rolovať, tým rýchlejšie sa bude lineárne pohybovať po rampe, čím vyhrá závod.
Potom, pretože všetky hmotnosti a polomery sú rovnaké, jednoduché porovnanie zlomkov pred každým okamihom zotrvačnej rovnice odhalí odpoveď:
Masívna guľa: I =2/5Pán2
Obruč okolo osi: I = mr2
Plný valec o svojej dĺžke: I =1/2Pán2
Od najmenšieho po najväčší moment zotrvačnosti, a tedaprvý až posledný, aby dosiahol na dno: guľa, valec, obruč.