Ako nájsť dy / dx implicitnou diferenciáciou s podobnou rovnicou ako y = sin (xy)

Implicitná diferenciácia je technika, ktorá sa používa na určenie derivácie funkcie v tvare y = f (x).

Aby sme sa naučili používať implicitnú diferenciáciu, môžeme použiť metódu na jednoduchom príklade a potom preskúmať niektoré zložitejšie prípady.

Aj keď to znie komplikovanejšie, implicitná diferenciácia využíva všetky rovnaké matematiky a zručnosti ako základná diferenciácia. Je však potrebné poznamenať, že naša závislá premenná sa teraz zobrazuje v samotnej funkcii.

Vezmite jednoduchú rovnicu, napríklad xy = 1. Existujú dva spôsoby, ako nájsť deriváciu r s ohľadom na Xalebo dy / dx. Najprv môžeme jednoducho vyriešiť r v rovnici a použite pravidlo sily pre deriváty. Toto by prinieslo: y = 1 / x. Uplatnenie pravidla sily by preto odhalilo, že dy / dx = -1 / x².

Tento problém môžeme urobiť aj pomocou implicitnej diferenciácie. Našťastie odpoveď už poznáme (mala by byť rovnaká bez ohľadu na to, ako ju vypočítame), takže môžeme skontrolovať svoju prácu!

Na začiatok použijeme deriváciu na obe strany rovnice xy = 1. Potom d / dx (xy) = d / dx (1); jednoznačne je teraz pravá strana rovná 0, ale ľavá strana vyžaduje reťazové pravidlo. Je to tak preto, lebo berieme deriváciu našej funkcie, r, zatiaľ čo sa znásobuje na ďalší faktor X. Ak to chcete vypočítať: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Na označenie derivácie vzhľadom na použijeme primárnu notáciu X.

Výpis z našej rovnice prepíše: y + xy '= 0. Je čas vyriešiť pre y ' v našej rovnici! Je zrejmé, že y '= -y / x. Ale s použitím pôvodných informácií vieme, že y = 1 / x, takže to môžeme dosadiť späť. Keď to urobíme, uvidíme, že y '= -1 / x², rovnako ako sme to našli predtým.

Na určenie derivácie y = sin (xy) použijeme implicitnú diferenciáciu zapamätaním si, že (d / dx) y = y '.

Najskôr použite deriváciu na obidve strany rovnice: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Ľavá strana rovnice je zreteľne y ', čo je to, čo budeme musieť vyriešiť, ale pravá strana si bude vyžadovať určitú prácu; konkrétne reťazové pravidlo a produktové pravidlo. Najskôr je potrebné použiť reťazové pravidlo na sin (xy) a potom produktové pravidlo argumentu xy. Našťastie sme toto pravidlo o produkte už vypočítali.

Ďalej to zjednodušíme: y '= cos (xy) (y + xy').

Je zrejmé, že túto rovnicu je potrebné vyriešiť y ' s cieľom určiť ako y ' súvisí X a r.

Izolovať všetky výrazy pomocou y ' na jednej strane: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Potom vyraďte y ' získať: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Teraz vidíme, že y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Je potrebné ďalšie zjednodušenie, ale pretože je naša funkcia rekurzívne definovaná, zapojenie y = sin (xy) pravdepodobne neprinesie uspokojivé riešenie. V takom prípade môže byť užitočných viac informácií alebo zložitejšia metóda na vykreslenie týchto rovníc.

Najprv nezabudnite, že implicitná diferenciácia závisí od toho, že jedna z premenných je funkciou druhej. Bežne vidíme funkcie ako y = f (x), ale dalo by sa napísať funkciu x = f (y). Pri riešení týchto problémov buďte opatrní, aby ste určili, ktorá premenná závisí od druhej.

Ďalej nezabudnite dôsledne uplatňovať pravidlá odvodenia. Implicitná diferenciácia bude veľmi často vyžadovať reťazové pravidlo, ako aj pravidlo produktu a pravidlo kvocientu. Správne použitie týchto metód bude nevyhnutné na určenie konečnej odpovede.

Nakoniec vyriešte požadovaný derivát tak, že ho izolovate a výrazy čo najviac zjednodušíte.