Euklidovská vzdialenosť je vzdialenosť medzi dvoma bodmi v euklidovskom priestore. Euklidovský priestor pôvodne vymyslel grécky matematik Euklid okolo roku 300 pred n. L. študovať vzťahy medzi uhlami a vzdialenosťami. Tento systém geometrie sa dodnes používa a je to ten, ktorý študujú stredoškoláci najčastejšie. Euklidovská geometria sa konkrétne vzťahuje na priestory dvoch a troch rozmerov. Môže sa však ľahko zovšeobecniť na dimenzie vyššieho rádu.
Vypočítajte euklidovskú vzdialenosť pre jednu dimenziu. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v jednej dimenzii je jednoducho absolútnou hodnotou rozdielu medzi ich súradnicami. Matematicky sa to zobrazuje ako | p1 - q1 | kde p1 je prvá súradnica prvého bodu a q1 je prvá súradnica druhého bodu. Použijeme absolútnu hodnotu tohto rozdielu, pretože vzdialenosť sa zvyčajne považuje iba za nezápornú hodnotu.
Vezmite dva body P a Q v dvojrozmernom euklidovskom priestore. Popíšeme P so súradnicami (p1, p2) a Q so súradnicami (q1, q2). Teraz zostrojte úsečku s koncovými bodmi P a Q. Tento úsečkový úsek vytvorí preponu pravého trojuholníka. Pri rozšírení výsledkov získaných v kroku 1 si všimneme, že dĺžky ramien tohto trojuholníka sú dané | p1 - q1 | a | p2 - q2 |. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi sa potom udáva ako dĺžka prepony.
Použite Pytagorovu vetu na určenie dĺžky prepočtu v kroku 2. Táto veta uvádza, že c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, kde c je dĺžka prepony pravého trojuholníka a a, b sú dĺžky ostatných dvoch častí. To nám dáva c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Vzdialenosť medzi 2 bodmi P = (p1, p2) a Q = (q1, q2) v dvojrozmernom priestore je preto ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Rozšírte výsledky kroku 3 na trojrozmerný priestor. Vzdialenosť medzi bodmi P = (p1, p2, p3) a Q = (q1, q2, q3) možno potom určiť ako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Zovšeobecnite riešenie v kroku 4 na vzdialenosť medzi dvoma bodmi P = (p1, p2,..., pn) a Q = (q1, q2,..., qn) v rozmeroch n. Toto všeobecné riešenie možno uviesť ako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).