Прежде чем обсуждать центр тяжести, давайте предположим несколько параметров. Во-первых, вы имеете дело с объектом, который находится на поверхности Земли, а не где-то в космосе. Во-вторых, объект достаточно мал - скажем, это не космический корабль, припаркованный на Земле в ожидании взлета. Как только все эти внеземные влияния будут устранены, вы сможете рассчитать центр тяжести геометрических объектов с помощью относительно простая формула - и фактически, из-за только что установленных условий, вы будете использовать ту же формулу для определения центра тяжести, что и для определения центр массы.
Как написать о центре тяжести
Центр тяжести в двумерной плоскости обычно обозначают координатами (xcg, ycg) или иногда переменнымиИкса такжеус перекладиной над ними. Кроме того, термин «центр тяжести» иногда сокращается до cg.
Как рассчитать ЦТ треугольника
В вашем учебнике математики или физики часто есть диаграммы для определения центра баланса определенных фигур. Но для некоторых распространенных геометрических фигур вы можете использовать соответствующую формулу центра тяжести, чтобы найти центр тяжести этой фигуры.
Для треугольников центр тяжести находится в точке, где пересекаются все три медианы. Если вы начнете с одной вершины треугольника, а затем проведете прямую линию до середины другой стороны, это будет одна медиана. Сделайте то же самое для двух других вершин, и точка, где пересекаются все три медианы, является центром тяжести треугольника.
И, конечно же, для этого есть формула. Если координаты центра тяжести треугольника равны (xcg, ycg), вы найдете его координаты следующим образом:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Где (x1, y1), (Икс2, y2) и (x3, y3) - координаты трех вершин треугольника. Вы можете выбрать, какой вершине какой номер будет присвоен.
Формула центра тяжести для прямоугольника
Вы заметили, что чтобы найти центр тяжести треугольника, вы просто усредняете значение x-координат, затем усреднить значение y-координат и использовать два результата как координаты вашего центра тяжести?
Чтобы найти центр тяжести прямоугольника, вы делаете то же самое. Но чтобы упростить вычисления, предположим, что прямоугольник ориентирован под прямым углом к декартовой системе координат. координатной плоскости (так что она не установлена под углом), и что ее нижняя левая вершина находится в начале координат график. В этом случае, чтобы найти (xcg, ycg) для прямоугольника все, что вам нужно вычислить, это:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Если вы не хотите перемещать свой прямоугольник в начало координатной плоскости или по какой-либо причине он не точно соответствует квадрату осей координат, вы можете столкнуться с этой немного более пугающей, но все же эффективной формулой для усреднения всех ее x-координат, чтобы найти значение из хcg, и усредните все координаты y, чтобы найти значение ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Уравнение центра тяжести
Что делать, если вам нужно вычислить центр тяжести формы, которая соответствует всем первым упомянутым предположениям (по сути, вы не пытаетесь буквально заниматься ракетостроением путем нахождения центра тяжести объектов в космосе), но он не попадает ни в одну из упомянутых категорий или в таблицы на обратной стороне вашего учебник? Затем вы можете разделить свою фигуру на более знакомые формы и использовать следующие уравнения, чтобы найти их общий центр тяжести:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Или, другими словами, xcg равняется площади сечения, умноженной на его положение по оси x, добавляется к площади сечения, умноженной на 2 его местоположения, и так далее, пока вы не сложите площадь, умноженную на местоположение всех сечений; затем разделите всю сумму на общую площадь всех секций. Затем сделайте то же самое для y.
В: Как мне узнать площадь каждого раздела?Разделение сложной или неправильной формы на более знакомые многоугольники позволяет использовать стандартные формулы для определения площади. Например, если вы разделили эту фигуру на прямоугольные части, вы можете использовать формулу длина × ширина, чтобы найти площадь каждой части.
В: Каково «расположение» каждого раздела?Расположение каждой секции является соответствующей координатой от центра тяжести этой секции. Так что если ты хочешь2 (местоположение сегмента 2), вам действительно нужно указать координату y для центра тяжести этого сегмента. Опять же, вот почему вы разделяете объект странной формы на более знакомые формы, потому что вы можете использовать формулы, которые уже обсуждались, чтобы найти центр тяжести каждой формы, а затем извлечь соответствующую координату (s).
В: Куда моя фигура идет на координатной плоскости?Вы можете выбрать, где ваша фигура находится на координатной плоскости - просто имейте в виду, что центр тяжести вашего ответа будет относительно той же точки отсчета. Проще всего разместить ваш объект в первом квадранте вашего графика так, чтобы его нижний край был напротив оси x. и левый край относительно оси y, так что все значения x и y положительны, но также достаточно малы, чтобы их можно было управляемый.
Уловки для поиска центра тяжести
Если вы имеете дело с одним объектом, иногда интуиция и немного логики - это все, что вам нужно, чтобы найти его центр тяжести. Например, если вы рассматриваете плоский диск, центром тяжести будет центр диска. В цилиндре это средняя точка на оси цилиндра. Для прямоугольника (или квадрата) это точка, где сходятся диагональные линии.
Вы могли заметить здесь закономерность: если рассматриваемый объект имеет линию симметрии, центр тяжести будет на этой линии. И если он имеет несколько осей симметрии, центр тяжести будет там, где эти оси пересекаются.
Наконец, если вы пытаетесь найти центр тяжести действительно сложного объекта, у вас есть два варианта: либо получить свои лучшие интегралы для исчисления (см. Ресурсы для тройного интеграла, который представляет центр тяжести для неоднородной массы) или введите свои данные в специально созданный центр тяжести калькулятор. (См. В разделе Ресурсы пример калькулятора центра тяжести для радиоуправляемых самолетов.)