Вы когда-нибудь задумывались, сколько воды или кофе поместится в одну из этих, казалось бы, бесчисленных одноразовых пластиковых стаканчиков для воды, которые в основании уже, чем в верхней части? Другими словами, почти каждый бумажный, пластиковый или другой одноразовый стаканчик, который вы когда-либо видели или использовали? (Честно говоря, некоторые чашки не имеют наклонных сторон и поэтому имеют цилиндрическую форму, но это, кажется, относится только к постоянный чашки.)
Описанный выше тип формы основан на конус, который является результатом линии, проходящей через пространство и очерчивающей изогнутый путь, такой как круг (в простейшем случае) или эллипс. Чашка обычно не заостренная (некоторые из них содержат замороженные лакомства), но с геометрической точки зрения это все же «кусок» конуса. Это позволяет легко и терпеливо найти нужный объем.
Объем конуса
Формула объема правильного или правого конуса (то есть конуса с круглым основанием) такова:
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Где р - радиус основания и
час высота конуса. Кроме того, поскольку сбоку правый конус выглядит как два соединенных вместе прямоугольных треугольника, длина s наклонной стороны конуса имеет то же значение, что и гипотенуза одного из этих треугольников. Таким образом, это дается применением теоремы Пифагора: р2 + час2 = s2, такs = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Объем конической чашки: часть первая
Допустим, у вас чашка шириной 8 сантиметров (см) у основания, 10 см в поперечнике и 15 см в высоту. Сколько жидкости он может вместить в см3, также называемые миллилитрами (мл)?
Один из способов решения этой проблемы - нарисовать поперечное сечение чашки, то есть то, как она выглядит сбоку после разрезания точно пополам перпендикулярно вашему полю зрения. Если вы проведете вертикальные линии вверх от двух точек, где основание соединяется со сторонами, до вершины чашку, теперь вы разделили поперечное сечение на два равных отраженных прямоугольных треугольника и прямоугольник. У треугольников длинные «ножки» 15 см и короткие «ножки» 1 см (разница между шириной основания и шириной верха).
Объем конической чашки: часть вторая
Обратите внимание, что произойдет, если вы расширите стороны чашки на диаграмме до точки ниже основания. Также вытяните линию вверх от центра верха к точке, к которой эти линии сходятся. (У вас может не хватить места, чтобы стороны встретились и образовали замкнутый треугольник, но подойдите как можно ближе)
Из-за принципа подобных треугольников вы знаете, что отношение длинной ножки треугольников сверху (15 см) к таковой у маленькой ножки (1 см) или 15 к 1, должно быть таким же, как отношение маленькой ножки к длинной ножке одного вновь созданного треугольника между основанием «чашки» и точка. Так как маленькая ножка имеет значение 4 см, длинная ножка должна быть в 15 раз больше, или 60 см.
Таким образом, теперь вы имеете дело с поперечным сечением конуса с общей высотой 15 + 60 = 75 см и шириной 10 см, что означает радиус 5 см. Объем этого конуса за вычетом объема конуса, доходящего до основания чашки, который имеет высоту 60 см и ширину 8 см (r = 4 см), дает желаемый результат:
\ begin {align} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {mL} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ text {mL} \ end {выровнено}
Таким образом, ваша чашка вмещает около 1 л (1000 мл) жидкости.
Калькулятор объема конуса и стакана
См. В Ресурсах список калькуляторов с конусами для различных исходных комбинаций информации. В качестве альтернативы вы можете использовать подход, подобный описанному выше, и разделить чашку на разные формы, а затем использовать более простые формулы (например, формула объема куба) в соответствующих комбинациях, чтобы найти общую объем.