Движение снарядаотносится к движению частицы, которой сообщается начальная скорость, но впоследствии не подвергается никаким силам, кроме силы тяжести.
Сюда входят задачи, в которых частица отбрасывается под углом от 0 до 90 градусов к горизонтали, причем горизонталь обычно является землей. Для удобства предполагается, что эти снаряды летят в (х, у) самолет, сИкспредставляющие горизонтальное смещение иувертикальное перемещение.
Путь, пройденный снарядом, называется еготраектория. (Обратите внимание, что общее звено в словах «снаряд» и «траектория» - это слог «-дъект», латинское слово, означающее «бросить». Катапультировать кого-то означает буквально выбросить его.) Точка происхождения снаряда в задачах, в которых необходимо вычислить траекторию, обычно для простоты предполагается равной (0, 0), если иное не указано. заявил.
Траектория снаряда представляет собой параболу (или, по крайней мере, отслеживает часть параболы), если частица запущена таким образом, что он имеет ненулевую горизонтальную составляющую движения, и нет сопротивления воздуха, влияющего на частица.
Кинематические уравнения
Интересующие нас переменные в движении частицы - это координаты ее положения.Икса такжеу, его скоростьv, и его ускорениеа, все по отношению к данному истекшему временитс момента начала проблемы (когда частица запущена или выпущена). Обратите внимание, что отсутствие массы (m) означает, что гравитация на Земле действует независимо от этой величины.
Также обратите внимание, что эти уравнения игнорируют роль сопротивления воздуха, которое создает силу сопротивления, противодействующую движению в реальных земных условиях. Этот фактор вводится на курсах механики более высокого уровня.
Переменные с нижним индексом "0" относятся к значению этой величины в определенный момент времени.т= 0 и - константы; часто это значение равно 0 благодаря выбранной системе координат, и уравнение становится намного проще. В этих задачах ускорение считается постоянным (в направлении y и равно -грамм,или же–9,8 м / с2, ускорение свободного падения у поверхности Земли).
Горизонтальное движение:
х = х_0 + v_xt
- Термин
vИкс- постоянная x-скорость.
Вертикальное движение:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Примеры движения снаряда
Ключом к решению задач, включающих расчет траектории, является знание того, что горизонтальная (x) и вертикальная (y) компоненты движение можно анализировать отдельно, как показано выше, и их соответствующие вклады в общее движение аккуратно суммируются в конце проблема.
Проблемы с движением снаряда считаются проблемами свободного падения, потому что, как бы все ни выглядело сразу послет= 0, единственная сила, действующая на движущийся объект, - это сила тяжести.
- Имейте в виду, что поскольку сила тяжести действует вниз, а это считается отрицательным направлением оси y, значение ускорения в этих уравнениях и задачах равно -g.
Расчет траектории
1. Самые быстрые питчеры в бейсболе могут бросать мяч со скоростью чуть более 100 миль в час или 45 м / с. Если мяч подброшен вертикально вверх с этой скоростью, насколько высоко он поднимется и сколько времени потребуется, чтобы вернуться в точку, в которой он был выпущен?
Здесьvy0= 45 м / с, -грамм= –9,8 м / с, а интересующие нас величины представляют собой предельную высоту, илиу,и общее время возвращения на Землю. Общее время рассчитывается из двух частей: время до y и время назад до y.0 = 0. Что касается первой части проблемы,vу,когда мяч достигает максимальной высоты, становится 0.
Начните с использования уравненияvу2= v0лет2 - 2г (г - г0)и вставьте значения, которые у вас есть:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9,8) (y - 0) = 2,025 - 19,6y \ подразумевает y = 103,3 \ text {m}
Уравнениеvу = v0лет - gtпоказывает, что время t составляет (45 / 9,8) = 4,6 секунды. Чтобы получить общее время, прибавьте это значение ко времени, которое требуется, чтобы мяч свободно упал в исходную точку. Это даетсяу = у0 + v0летт - (1/2) гт2, где теперь, поскольку мяч все еще находится в момент перед тем, как он начнет падать,v0лет = 0.
Решение:
103.3 = (1/2) gt ^ 2 \ подразумевает t = 4.59 \ text {s}
Таким образом, общее время составляет 4,59 + 4,59 = 9,18 секунды. Возможно, удивительный результат, что каждый «этап» путешествия, вверх и вниз, занимал одно и то же время, подчеркивает тот факт, что гравитация является единственной силой, действующей здесь.
2. Уравнение диапазона:Когда снаряд запускается со скоростьюv0и угол θ от горизонтали, он имеет начальные горизонтальную и вертикальную составляющие скоростиv0x = v0(cos θ) иv0лет = v0(грех θ).
Так какvу = v0лет - gt, а такжеvу = 0, когда снаряд достигает максимальной высоты, время достижения максимальной высоты определяется выражением t =v0лет/g. Из-за симметрии время, необходимое для возвращения на землю (или y = y0) просто 2t = 2v0лет/грамм.
Наконец, комбинируя их с соотношением x =v0xt пройденное расстояние по горизонтали с учетом угла запуска θ равно
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Последний шаг следует из тригонометрического тождества 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Поскольку максимальное значение sin2θ равно 1, когда θ = 45 градусов, использование этого угла максимизирует горизонтальное расстояние для заданной скорости при
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}