Представьте, что вы стоите посреди идеально круглой арены. Вы смотрите на толпу по краям арены и замечаете своего лучшего друга на одном месте и учителя математики в средней школе через пару секций. Какое расстояние между ними и вами? Как далеко вам придется пройти, чтобы добраться от места друга до места учителя? Каковы размеры углов между вами? Это все вопросы, связанные с центральными углами.
А центральный угол это угол, который образуется, когда два радиуса проводятся от центра круга к его краям. В этом примере два радиуса - это две линии вашего взгляда от вас, в центре арены, до вашего друга и ваша линия обзора до учителя. Угол, который образуется между этими двумя линиями, является центральным углом. Это угол, ближайший к центру круга.
Ваш друг и ваш учитель сидят вдоль длина окружности или края круга. Путь вдоль арены, соединяющий их, представляет собой дуга.
Найдите центральный угол по длине дуги и окружности
Есть несколько уравнений, которые вы можете использовать, чтобы найти центральный угол. Иногда вы получаете
длина дуги, расстояние по окружности между двумя точками. (В этом примере это расстояние, которое вам придется пройти по арене, чтобы добраться от друга до учителя.) Связь между центральным углом и длиной дуги следующая:(длина дуги) ÷ окружность = (центральный угол) ÷ 360 °
Центральный угол будет в градусах.
Эта формула имеет смысл, если задуматься. Длина дуги из общей длины по окружности (окружности) равна той же пропорции, что и угол дуги из общего угла в окружности (360 градусов).
Чтобы эффективно использовать это уравнение, вам нужно знать длину окружности. Но вы также можете использовать эту формулу, чтобы найти длину дуги, если вы знаете центральный угол и длину окружности. Или, если у вас есть длина дуги и центральный угол, вы можете найти окружность!
Найдите центральный угол по длине и радиусу дуги
Вы также можете использовать радиус круга и длину дуги, чтобы найти центральный угол. Назовем меру центрального угла θ. Потом:
θ = s÷ r, где s - длина дуги, r - радиус. θ измеряется в радианах.
Опять же, вы можете изменить это уравнение в зависимости от имеющейся у вас информации. Вы можете найти длину дуги по радиусу и центральному углу. Или вы можете найти радиус, если у вас есть центральный угол и длина дуги.
Если вам нужна длина дуги, уравнение будет выглядеть так:
s =θ * г, где s - длина дуги, r - радиус, θ - центральный угол в радианах.
Теорема о центральном угле
Давайте добавим изюминку в ваш пример, когда вы находитесь на арене со своим соседом и учителем. Теперь на арене есть третий человек, которого вы знаете: ваш ближайший сосед. И еще одно: они позади вас. Вы должны обернуться, чтобы их увидеть.
Ваш сосед находится примерно через арену от вашего друга и вашего учителя. С точки зрения вашего соседа, существует угол, образованный их линией взгляда на друга и их линией взгляда на учителя. Это называется вписанным углом. An вписанный угол угол, образованный тремя точками на окружности.
Теорема о центральном угле объясняет взаимосвязь между размером центрального угла, образованного вами, и вписанного угла, образованного вашим соседом. В Теорема о центральном угле говорится, что центральный угол вдвое больше вписанного угла. (Предполагается, что вы используете одни и те же конечные точки. Вы оба смотрите на учителя и друга, ни на кого больше).
Вот еще один способ написать это. Давайте назовем место вашего друга A, место вашего учителя B и место вашего соседа C. Вы, в центре, можете быть О.
Итак, для трех точек A, B и C по окружности окружности и точки O в центре центральный угол ∠AOC вдвое больше вписанного угла ∠ABC.
Это, ∠AOC = 2∠ABC.
В этом есть смысл. Вы ближе к другу и учителю, поэтому на вас они смотрят дальше друг от друга (под большим углом). Вашему соседу с другой стороны стадиона они выглядят намного ближе друг к другу (меньший угол).
Исключение из теоремы о центральном угле
А теперь давайте перейдем к делу. Ваш сосед на дальней стороне арены начинает двигаться! У них все еще есть линия обзора для друга и учителя, но линии и углы продолжают изменяться по мере движения соседа. Угадайте, что: до тех пор, пока сосед остается вне дуги между другом и соседом, теорема о центральном угле остается верной!
Но что происходит, когда сосед переезжает между друг и учитель? Теперь твой сосед внутри малая дуга, относительно небольшое расстояние между другом и учителем по сравнению с большим расстоянием вокруг остальной арены. Тогда вы получите исключение из теоремы о центральном угле.
В исключение из теоремы о центральном угле утверждает, что когда точка C, соседняя, находится внутри малой дуги, вписанный угол является добавлением половины центрального угла. (Помните, что угол и его добавка добавить к 180 градусам.)
Так: вписанный угол = 180 - (центральный угол ÷ 2)
Или же: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Визуализировать
В Math Open Reference есть инструмент для визуализации теоремы о центральном угле и ее исключения. Вы можете перетащить «соседа» во все разные части круга и наблюдать, как меняются углы. Попробуйте, если вы хотите получить визуальную или дополнительную практику!