Представьте, что вы стоите посреди идеально круглой арены. Вы смотрите на толпу по краям арены и замечаете своего лучшего друга на одном месте и учителя математики в средней школе через пару секций. Какое расстояние между ними и вами? Как далеко вам придется пройти, чтобы добраться от места друга до места учителя? Каковы размеры углов между вами? Это все вопросы, связанные с центральными углами.
А центральный угол это угол, который образуется, когда два радиуса проводятся от центра круга к его краям. В этом примере два радиуса - это две линии вашего взгляда от вас, в центре арены, до вашего друга и ваша линия обзора до учителя. Угол, который образуется между этими двумя линиями, является центральным углом. Это угол, ближайший к центру круга.
Ваш друг и ваш учитель сидят вдоль длина окружности или края круга. Путь вдоль арены, соединяющий их, представляет собой дуга.
Найдите центральный угол по длине дуги и окружности
Есть несколько уравнений, которые вы можете использовать, чтобы найти центральный угол. Иногда вы получаете
(длина дуги) ÷ окружность = (центральный угол) ÷ 360 °
Центральный угол будет в градусах.
Эта формула имеет смысл, если задуматься. Длина дуги из общей длины по окружности (окружности) равна той же пропорции, что и угол дуги из общего угла в окружности (360 градусов).
Чтобы эффективно использовать это уравнение, вам нужно знать длину окружности. Но вы также можете использовать эту формулу, чтобы найти длину дуги, если вы знаете центральный угол и длину окружности. Или, если у вас есть длина дуги и центральный угол, вы можете найти окружность!
Найдите центральный угол по длине и радиусу дуги
Вы также можете использовать радиус круга и длину дуги, чтобы найти центральный угол. Назовем меру центрального угла θ. Потом:
θ = s÷ r, где s - длина дуги, r - радиус. θ измеряется в радианах.
Опять же, вы можете изменить это уравнение в зависимости от имеющейся у вас информации. Вы можете найти длину дуги по радиусу и центральному углу. Или вы можете найти радиус, если у вас есть центральный угол и длина дуги.
Если вам нужна длина дуги, уравнение будет выглядеть так:
s =θ * г, где s - длина дуги, r - радиус, θ - центральный угол в радианах.
Теорема о центральном угле
Давайте добавим изюминку в ваш пример, когда вы находитесь на арене со своим соседом и учителем. Теперь на арене есть третий человек, которого вы знаете: ваш ближайший сосед. И еще одно: они позади вас. Вы должны обернуться, чтобы их увидеть.
Ваш сосед находится примерно через арену от вашего друга и вашего учителя. С точки зрения вашего соседа, существует угол, образованный их линией взгляда на друга и их линией взгляда на учителя. Это называется вписанным углом. An вписанный угол угол, образованный тремя точками на окружности.
Теорема о центральном угле объясняет взаимосвязь между размером центрального угла, образованного вами, и вписанного угла, образованного вашим соседом. В Теорема о центральном угле говорится, что центральный угол вдвое больше вписанного угла. (Предполагается, что вы используете одни и те же конечные точки. Вы оба смотрите на учителя и друга, ни на кого больше).
Вот еще один способ написать это. Давайте назовем место вашего друга A, место вашего учителя B и место вашего соседа C. Вы, в центре, можете быть О.
Итак, для трех точек A, B и C по окружности окружности и точки O в центре центральный угол ∠AOC вдвое больше вписанного угла ∠ABC.
Это, ∠AOC = 2∠ABC.
В этом есть смысл. Вы ближе к другу и учителю, поэтому на вас они смотрят дальше друг от друга (под большим углом). Вашему соседу с другой стороны стадиона они выглядят намного ближе друг к другу (меньший угол).
Исключение из теоремы о центральном угле
А теперь давайте перейдем к делу. Ваш сосед на дальней стороне арены начинает двигаться! У них все еще есть линия обзора для друга и учителя, но линии и углы продолжают изменяться по мере движения соседа. Угадайте, что: до тех пор, пока сосед остается вне дуги между другом и соседом, теорема о центральном угле остается верной!
Но что происходит, когда сосед переезжает между друг и учитель? Теперь твой сосед внутри малая дуга, относительно небольшое расстояние между другом и учителем по сравнению с большим расстоянием вокруг остальной арены. Тогда вы получите исключение из теоремы о центральном угле.
В исключение из теоремы о центральном угле утверждает, что когда точка C, соседняя, находится внутри малой дуги, вписанный угол является добавлением половины центрального угла. (Помните, что угол и его добавка добавить к 180 градусам.)
Так: вписанный угол = 180 - (центральный угол ÷ 2)
Или же: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Визуализировать
В Math Open Reference есть инструмент для визуализации теоремы о центральном угле и ее исключения. Вы можете перетащить «соседа» во все разные части круга и наблюдать, как меняются углы. Попробуйте, если вы хотите получить визуальную или дополнительную практику!