Что такое мнимые числа?

Математики изобрели мнимые числа для решения задач алгебры, которые иначе были бы неразрешимы. Когда вы возводите в квадрат мнимое число, вы получаете отрицательное число. Хотя поначалу они могут показаться немного странными, мнимые числа имеют много важных практических применений в математике, естественных науках и технике.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Когда вы возводите в квадрат мнимое число, результат - отрицательное число.

Обычно в повседневной жизни вы имеете дело с реальными числами - температурой на улице, расстоянием до дома друга или количеством пенсов в вашей банке для мелочи. Эти числа представляют реальные объекты и явления. В дополнение к целым числам, которые мы используем для подсчета, действительные числа включают ноль и отрицательные числа. Некоторые числа рациональны; их можно получить, разделив одно целое число на другое. Другие числа, например Пи, е, и квадратный корень из 2 иррациональны. Для них не существует целочисленного отношения. Это может помочь изобразить действительные числа в виде отметок на бесконечно длинной линии с нулем в середине.

В конце 1500-х годов математики обнаружили существование мнимых чисел. Мнимые числа необходимы для решения таких уравнений, как x ^ 2 + 1 = 0. Чтобы отличить мнимые числа от реальных, математики используют букву я, обычно курсивом, например я, 3i, 8.4i, где я - квадратный корень из -1 и число перед ним, которое служит множителем. Например, 8,4i - это квадратный корень из -8,4. Некоторые технические дисциплины, такие как электротехника, предпочитают использовать букву j вместо я. Они не только отличаются от действительных чисел, но и у мнимых чисел есть своя числовая «линия».

В математике существует линия мнимых чисел, которая очень похожа на линию действительных чисел. Две линии расположены под прямым углом друг к другу, как оси x и y графика. Они пересекаются в нулевых точках каждой линии. Эти числовые линии помогают вам представить, как работают действительные и мнимые числа.

Сами по себе действительные и мнимые числовые линии, как и любые линии в геометрии, занимают одно измерение и имеют бесконечную длину. Вместе две числовые линии образуют то, что математики называют плоскостью комплексных чисел - два измерения, которые описывают любое число, действительное, мнимое или комплексное. Например, 72,15 - действительное число, а -15i - мнимое число. Для этих двух чисел вы можете найти точку на плоскости комплексных чисел: 72,15, -15i. Обратите внимание, что это число расположено на плоскости, а не непосредственно на линиях с мнимыми или действительными числами. Это похоже на Сан-Франциско, который имеет широту и долготу, но не находится ни на экваторе, ни на нулевом меридиане.

Мнимые и комплексные числа работают так же, как настоящие. Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить их в любой комбинации. Они следуют обычным правилам математики с той оговоркой, что возведение в квадрат мнимых чисел дает отрицательный ответ.

Мнимые числа - полезные инструменты, помогающие решать сложные математические задачи. В электронике уравнения, описывающие цепи переменного тока, используют математику мнимых и комплексных чисел. Физики используют комплексные числа при работе с электромагнитными волнами, которые сочетают в себе свойства электричества и магнетизма. Квантовая механика, изучающая субатомные частицы, также использует комплексные числа. В геометрии изучение фрактальных форм, которые извиваются и разветвляются в разных направлениях, включает математику сложных чисел.