Мало что вселяет страх в начинающего изучающего алгебру, например, вид экспонентов - таких выражений, каку2, Икс3 или даже ужасающийуИкс- всплывают в уравнениях. Чтобы решить уравнение, вам нужно как-то убрать эти показатели. Но по правде говоря, этот процесс не так уж и сложен, если вы изучите ряд простых стратегий, большинство из которых основаны на основных арифметических операциях, которые вы использовали в течение многих лет.
Упростите и объедините похожие термины
Иногда, если вам повезет, в уравнении могут быть экспоненты, которые компенсируют друг друга. Например, рассмотрим следующее уравнение:
у + 2х ^ 2-5 = 2 (х ^ 2 + 2)
Зорким глазом и небольшой практикой вы можете заметить, что члены экспоненты фактически компенсируют друг друга, таким образом:
Упростив правую часть примера уравнения, вы увидите, что у вас есть одинаковые члены экспоненты по обе стороны от знака равенства:
у + 2x ^ 2-5 = 2x ^ 2 + 4
Вычесть 2Икс2 с обеих сторон уравнения. Поскольку вы выполнили одну и ту же операцию с обеими сторонами уравнения, вы не изменили его значение. Но вы фактически удалили показатель степени, оставив вам:
у - 5 = 4
При желании можно закончить решение уравнения дляудобавив 5 к обеим сторонам уравнения, получим:
у = 9
Часто проблемы не так просты, но это все же возможность, на которую стоит обратить внимание.
Ищите возможности для фактора
Со временем, практикой и большим количеством математических классов вы соберете формулы для разложения на множители определенных типов многочленов. Это очень похоже на сбор инструментов, которые вы храните в ящике для инструментов, пока они вам не понадобятся. Хитрость заключается в том, чтобы научиться определять, какие многочлены можно легко разложить на множители. Вот некоторые из наиболее распространенных формул, которые вы можете использовать, с примерами их применения:
Если ваше уравнение содержит два числа в квадрате со знаком минус между ними - например,Икс2 − 42 - вы можете разложить их на множители по формулеа2 − б2 = (а + б) (а - б). Если применить формулу к примеру, многочленИкс2 − 42 факторы к (Икс + 4)(Икс − 4).
Хитрость здесь в том, чтобы научиться распознавать числа в квадрате, даже если они не записаны как экспоненты. Например, на примереИкс2 − 42 с большей вероятностью будет записан какИкс2 − 16.
Если ваше уравнение содержит два сложенных в куб числа, их можно разложить на множители по формуле
а ^ 3 + Ь ^ 3 = (а + Ь) (а ^ 2 - аб + Ь ^ 2)
Рассмотрим на примереу3 + 23, который вы, скорее всего, увидите в видеу3 + 8. Когда вы заменяетеуи 2 в формулу дляаа такжебсоответственно у вас есть:
(у + 2) (у ^ 2 - 2у + 2 ^ 2)
Очевидно, что показатель степени не исчез полностью, но иногда такой тип формул является полезным промежуточным шагом на пути к избавлению от него. Например, факторинг таким образом в числителе дроби может создать условия, которые вы затем можете отменить с помощью членов из знаменателя.
Если ваше уравнение содержит два числа в кубе с однимвычтенныйс другой стороны, вы можете разложить их на множители, используя формулу, очень похожую на формулу, показанную в предыдущем примере. Фактически, расположение знака минус - единственное различие между ними, так как формула разности кубиков такова:
а ^ 3 - Ь ^ 3 = (а - Ь) (а ^ 2 + аб + Ь ^ 2)
Рассмотрим на примереИкс3 − 53, который, скорее всего, был бы записан какИкс3 − 125. ПодстановкаИксдляаи 5 дляб, ты получаешь:
(х - 5) (х ^ 2 + 5x + 5 ^ 2)
Как и раньше, хотя это не исключает полностью показатель степени, это может быть полезным промежуточным шагом на этом пути.
Изолировать и применить радикал
Если ни один из вышеперечисленных приемов не работает и у вас есть только один термин, содержащий показатель степени, вы можете использовать наиболее распространенный метод «избавления от степени: выделите член экспоненты на одной стороне уравнения, а затем примените соответствующий радикал к обеим сторонам уравнение. Рассмотрим на примере
г ^ 3 - 25 = 2
Выделите показатель степени, прибавив 25 к обеим частям уравнения. Это дает вам:
г ^ 3 = 27
Индекс корня, который вы применяете, то есть маленький верхний индекс перед знаком радикала, должен совпадать с показателем, который вы пытаетесь удалить. Таким образом, поскольку член экспоненты в этом примере является кубом или третьей степенью, вы должны применить кубический корень или третий корень, чтобы удалить его. Это дает вам:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Что, в свою очередь, упрощает:
г = 3