Квадратное уравнение - это уравнение, содержащее одну переменную и возведенное в квадрат. Стандартная форма для этого типа уравнения, которое всегда дает параболу на графике, - этотопор2 + bx + c= 0, гдеа, ба такжеcявляются константами. Найти решения не так просто, как для линейного уравнения, и отчасти причина в том, что из-за квадрата члена всегда есть два решения. Вы можете использовать один из трех методов для решения квадратного уравнения. Вы можете разложить на множители, что лучше всего работает с более простыми уравнениями, или заполнить квадрат. Третий метод - использовать квадратную формулу, которая является обобщенным решением любого квадратного уравнения.
Квадратичная формула
Для общего квадратного уравнения видатопор2 + bx + c= 0, решения даются этой формулой:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Обратите внимание, что знак ± в скобках означает, что всегда есть два решения. Одно из решений использует
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
а другое решение использует
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Использование квадратичной формулы
Прежде чем вы сможете использовать квадратную формулу, вы должны убедиться, что уравнение имеет стандартную форму. А может и не быть. НекоторыйИкс2 члены могут быть с обеих сторон уравнения, поэтому вам придется собрать их с правой стороны. Сделайте то же самое со всеми терминами и константами x.
Пример: найти решения уравнения
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Раскройте скобки:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Вычесть 2Икс2 и с обеих сторон. Добавить 2Иксв обе стороны
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Это уравнение имеет стандартную формутопор2 + bx + c= 0 гдеа = 1, б= −2 иc = 12
Квадратичная формула
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Са = 1, б= −2 иc= −12, это становится
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ гидроразрыв {2 ± 7.21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {и} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4.605 \ text {and} x = −2.605
Два других способа решения квадратных уравнений
Вы можете решить квадратные уравнения с помощью факторизации. Для этого вы более или менее угадываете пару чисел, которые при сложении дают константуби при умножении дают константуc. Этот метод может быть трудным, когда речь идет о дробях. и не подойдет для приведенного выше примера.
Другой способ - заполнить квадрат. Если у вас есть уравнение стандартной формы,топор2 + bx + c= 0, положимcсправа и добавьте термин (б/2)2 в обе стороны. Это позволяет вам выразить левую часть как (Икс + d)2, гдеdявляется константой. Затем вы можете извлечь квадратный корень из обеих сторон и решить дляИкс. Опять же, уравнение в приведенном выше примере легче решить с помощью формулы корней квадратного уравнения.