Каждый студент, изучающий алгебру на более высоких уровнях, должен научиться решать квадратные уравнения. Это тип полиномиального уравнения, которое включает степень двойки, но не выше, и имеет общую форму:топор2 + bx + c= 0. Вы можете решить их, используя формулу квадратного уравнения, факторизуя или завершая квадрат.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Сначала найдите факторизацию, чтобы решить уравнение. Если нет никого, кромебкоэффициент делится на 2, заполните квадрат. Если ни один из подходов не является простым, используйте формулу квадратного уравнения.
Использование факторизации для решения уравнения
Факторизация использует тот факт, что правая часть стандартного квадратного уравнения равна нулю. Это означает, что если вы можете разделить уравнение на два члена в скобках, умноженных друг на друга, вы можете найти решения, подумав о том, что сделает каждую скобку равной нулю. Приведу конкретный пример:
х ^ 2 + 6х + 9 = 0
Сравните это со стандартной формой:
ах ^ 2 + Ьх + с = 0
В этом примере
а = 1, б= 6 иc= 9. Задача факторизации - найти два числа, которые в сумме дают число вбместо и умножьте вместе, чтобы получить число на месте дляc.Итак, представляя числаdа такжее, вы ищете числа, которые удовлетворяют:
д + е = Ь
Или в этом случае сб = 6:
г + е = 6
А также
д × е = с
Или в этом случае сc = 9:
d × e = 9
Сосредоточьтесь на поиске чисел, которые являются факторамиc, а затем сложите их, чтобы проверить, равны ли ониб. Когда у вас есть числа, поместите их в следующем формате:
(х + г) (х + е)
В приведенном выше примере обаdа такжее3:
х ^ 2 + 6х + 9 = (х + 3) (х + 3) = 0
Если вы умножите скобки, вы снова получите исходное выражение, и это хорошая практика для проверки факторизации. Вы можете выполнить этот процесс (по очереди умножая первую, внутреннюю, внешнюю и затем последнюю части скобок - см. Ресурсы для более подробной информации), чтобы увидеть его в обратном порядке:
\ begin {align} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {выровнено}
Факторизация эффективно проходит через этот процесс в обратном порядке, но может быть сложно разработать правильный способ разложить квадратное уравнение на множители, и этот метод не идеален для каждого квадратного уравнения для этого причина. Часто приходится угадывать факторизацию, а затем проверять ее.
Теперь проблема заключается в том, что любое из выражений в скобках становится равным нулю за счет вашего выбора значения дляИкс. Если любая скобка равна нулю, все уравнение равно нулю, и вы нашли решение. Посмотрите на последний этап [(Икс + 3) (Икс+ 3) = 0], и вы увидите, что скобки обнуляются только в том случае, еслиИкс= −3. Однако в большинстве случаев квадратные уравнения имеют два решения.
Факторизация становится еще более сложной, еслиане равно единице, но сначала лучше сосредоточиться на простых случаях.
Завершение квадрата для решения уравнения
Заполнение квадрата поможет вам решить квадратные уравнения, которые нелегко разложить на множители. Этот метод может работать с любым квадратным уравнением, но некоторые уравнения подходят ему больше, чем другие. Подход предполагает преобразование выражения в идеальный квадрат и решение этой проблемы. Стандартный идеальный квадрат расширяется следующим образом:
(х + d) ^ 2 = х ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, приведите выражение к форме, приведенной в правой части приведенного выше. Сначала разделите число набположение на 2, а затем возвести результат в квадрат. Итак, для уравнения:
х ^ 2 + 8х = 0
Коэффициентб= 8, поэтомуб÷ 2 = 4 и (б ÷ 2)2 = 16.
Добавьте это с обеих сторон, чтобы получить:
х ^ 2 + 8х + 16 = 16
Обратите внимание, что эта форма соответствует идеальной квадратной форме сd= 4, поэтому 2d= 8 иd2 = 16. Это значит, что:
х ^ 2 + 8х + 16 = (х + 4) ^ 2
Вставьте это в предыдущее уравнение, чтобы получить:
(х + 4) ^ 2 = 16
Теперь решите уравнение дляИкс. Извлеките квадратный корень из обеих частей, чтобы получить:
х + 4 = \ sqrt {16}
Вычтем 4 с обеих сторон, чтобы получить:
х = \ sqrt {16} - 4
Корень может быть положительным или отрицательным, а получение отрицательного корня дает:
х = -4 - 4 = -8
Найдите другое решение с положительным корнем:
х = 4-4 = 0
Следовательно, единственное ненулевое решение - −8. Для подтверждения сверьте это с исходным выражением.
Использование квадратичной формулы для решения уравнения
Формула квадратного уравнения выглядит более сложной, чем другие методы, но это самый надежный метод, и вы можете использовать его в любом квадратном уравнении. В уравнении используются символы из стандартного квадратного уравнения:
ах ^ 2 + Ьх + с = 0
И заявляет, что:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Вставьте соответствующие числа на их места и поработайте с формулой, чтобы решить, не забывая попробовать как вычитание, так и сложение квадратного корня, и запишите оба ответа. Для следующего примера:
х ^ 2 + 6х + 5 = 0
У тебя естьа = 1, б= 6 иc= 5. Итак, формула дает:
\ begin {align} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {выровнено}
Положительный знак дает:
\ begin {выровнен} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {выровнен}
А принятие отрицательного знака дает:
\ begin {выравнивается} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {выравнивается}
Какие два решения уравнения.
Как определить лучший метод решения квадратных уравнений
Прежде чем пробовать что-либо еще, ищите факторизацию. Если вы его заметите, это самый быстрый и простой способ решить квадратное уравнение. Помните, что вы ищете два числа, которые в суммебкоэффициент и умножьте, чтобы получитьcкоэффициент. Для этого уравнения:
х ^ 2 + 5х + 6 = 0
Вы можете заметить, что 2 + 3 = 5 и 2 × 3 = 6, поэтому:
х ^ 2 + 5х + 6 = (х + 2) (х + 3) = 0
А такжеИкс= −2 илиИкс = −3.
Если вы не видите факторизацию, проверьте, есть либкоэффициент делится на 2 без использования дробей. Если это так, завершение квадрата, вероятно, является самым простым способом решить уравнение.
Если ни один из подходов не подходит, используйте формулу. Это кажется наиболее сложным подходом, но если вы сдаетесь на экзамен или иным образом вынуждены тратить время, это может сделать процесс намного менее напряженным и намного быстрее.