Произведение двух скалярных величин - это скаляр, а произведение скаляра на вектор - это вектор, но как насчет произведения двух векторов? Это скаляр или другой вектор? Ответ: может быть и то, и другое!
Есть два способа взять векторное произведение. Один из них - это скалярное произведение, которое дает скаляр, а другой - их перекрестное произведение, которое дает другой вектор. Какой продукт используется, зависит от конкретного сценария и количества, которое вы пытаетесь найти.
Перекрестное произведение двух векторов дает третий вектор, который указывает в направлении, перпендикулярном оси плоскость, натянутая на два вектора, величина которой зависит от относительной перпендикулярности двух векторы.
Определение векторного произведения векторов
Сначала мы определяем векторное произведение единичных векторовя, jа такжеk(векторы величины 1, которые указывают нах-, у-а такжеz-компонентные направления стандартной декартовой системы координат) следующим образом:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Обратите внимание, что эти отношения являются антикоммутативными, то есть, если мы изменим порядок векторов, произведение которых мы берем, это изменит знак продукта:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Мы можем использовать приведенные выше определения, чтобы вывести формулу для векторного произведения двух трехмерных векторов. Сначала напишите векторыаа такжебследующим образом:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Умножая два вектора, получаем:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ жирный {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ times i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
Затем, используя приведенные выше отношения единичного вектора, это упрощается до:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Обратите внимание, что члены, у которых перекрестное произведение равно 0, являются членами, которые образуют скалярное произведение (также называемое скалярным произведением)!Это не совпадение.)
Другими словами:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {где} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Величину перекрестного произведения можно найти с помощью теоремы Пифагора.
Формула перекрестного произведения также может быть выражена как определитель следующей матрицы:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {матрица} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Где определитель} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = ad - bc
Другая, часто очень удобная формулировка перекрестного произведения (вывод см. В конце статьи):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ жирным шрифтом {n}
Где:
- |а| - величина (длина) вектораа
- |б| - величина (длина) вектораб
- θ - угол между аа также б
- п- единичный вектор, перпендикулярный плоскости, натянутой на аа такжеб
Перпендикулярные векторы и правило правой руки
В описании поперечного произведения указано, что направление поперечного произведения перпендикулярно плоскости, натянутой на вектораи векторб. Но это оставляет две возможности: это может указывать наснаружисамолет иливплоскость, натянутая на эти векторы. Реальность такова, что мы можем выбирать любое из них, если мы последовательны. Однако предпочтительное направление, выбранное математиками и учеными, определяется тем, что называетсяправило правой руки.
Чтобы определить направление векторного векторного произведения с помощью правила правой руки, укажите указательным пальцем правой руки в направлении вектора.аи средний палец в направлении вектораб. Затем ваш большой палец указывает в направлении вектора векторного произведения.
Иногда эти направления сложно изобразить на плоском листе бумаги, поэтому часто используются следующие условности:
Чтобы указать вектор, который попадает на страницу, мы рисуем круг с X в нем (представьте это как перья хвоста на конце стрелки, когда вы смотрите на него сзади). Чтобы обозначить вектор, который выходит за пределы страницы в противоположном направлении, мы рисуем круг с точкой в нем (воспринимайте это как кончик стрелки, указывающей за пределы страницы).
•••на
Свойства перекрестного произведения
Ниже приведены несколько свойств векторного векторного произведения:
\#\текст 1. Если} \ bold {a} \ text {и} \ bold {b} \ text {параллельны, то} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ text {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ текст {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ текст {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Геометрическая интерпретация перекрестного произведения
Когда векторное векторное произведение выражается в терминах sin (θ), его величину можно интерпретировать как представление площади параллелограмма, натянутого на два вектора. Это потому, что дляа × б, |б| sin (θ) = высота параллелограмма, как показано, и |а| это база.
•••Дана Чен | Наука
Величина векторного тройного произведенияа (б × в) в свою очередь можно интерпретировать как объем параллелепипеда, натянутого на векторыа, ба такжеc. Это потому что(б × в) дает вектор, величина которого равна площади, охватываемой векторомби векторc, и направление которого перпендикулярно этой области. Взяв скалярное произведение вектораав результате площадь основания умножается на высоту.
Примеры
Пример 1:Сила на частицу зарядаqдвижется со скоростьюvв магнитном полеBдан кем-то:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
Предположим, что электрон проходит через магнитное поле 0,005 Тл со скоростью 2 × 107 РС. Если он проходит через поле перпендикулярно, то сила, которую он ощущает, составляет:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ times 10 ^ {19}) (2 \ times 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1,602 \ times 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Однако, если электрон движется параллельно полю, тогда θ = 0 и sin (0) = 0, что делает силу 0.
Обратите внимание, что для электрона, проходящего перпендикулярно полю, эта сила заставит его двигаться по круговой траектории. Радиус этого кругового пути можно найти, установив магнитную силу равной центростремительной силе и решив для радиусар:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ подразумевает r = \ frac {mv} {qB}
В приведенном выше примере добавление чисел дает радиус около 0,0227 м.
Пример 2:Физический крутящий момент также вычисляется с использованием векторного векторного произведения. Если силаFприменяется к объекту в позициирот точки поворота крутящий моментτотносительно точки поворота определяется по формуле:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Рассмотрим ситуацию, когда сила 7 Н приложена под углом к концу стержня 0,75, другой конец которого прикреплен к оси. Угол междура такжеFсоставляет 70 градусов, поэтому крутящий момент можно вычислить:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Направление крутящего момента,п, находится по правилу правой руки. Если применить к изображению выше, это дает направление, исходящее от страницы или экрана. В общем, крутящий момент, приложенный к объекту, заставляет объект вращаться. Вектор крутящего момента всегда будет лежать в том же направлении, что и ось вращения.
Фактически, в этой ситуации можно использовать упрощенное правило правой руки: используйте правую руку, чтобы «схватить» ось вращения в таким образом, чтобы ваши пальцы сгибались в том направлении, в котором связанный крутящий момент будет заставлять объект вращаться. Ваш большой палец будет указывать в направлении вектора крутящего момента.
Вывод формулы кросс-продукта
\ text {Здесь мы покажем, как формула векторного произведения} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {можно получить.}
Рассмотрим два векторааа такжебс угломθмежду ними. Прямоугольный треугольник можно сформировать, проведя линию от кончика вектора.ак перпендикулярной точке контакта на вектореб.
Используя теорему Пифагора, мы получаем следующее соотношение:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {- проекция вектора} \ bold {a} \ text {на вектор} \ bold {b}.
Немного упрощая выражение, получаем следующее:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { а} | ^ 2
Затем умножьте обе части уравнения на |б|2 и переместите первый член в правую часть, чтобы получить:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { а \ cdot b} | ^ 2
Работая с правой частью, умножьте все, а затем упростите:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z) - (a_yb_z) - (a_yb_z) - (a_yb_z) - (a_yb_z) (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ жирным шрифтом {a \ times b} | ^ 2
Приравнивая результат к левой части предыдущего уравнения, мы получаем следующее соотношение:
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
Это показывает нам, что величины в формуле одинаковы, поэтому последнее, что нужно сделать, чтобы доказать формулу, - это показать, что направления также совпадают. Это можно сделать, просто взяв скалярные произведенияас участиема × ба такжебс участиема × би показывая, что они равны 0, подразумевая, что направлениеа × б перпендикулярно обоим.