Решение загадок электромагнетизма было одним из величайших достижений физики на сегодняшний день, и извлеченные уроки полностью отражены в уравнениях Максвелла.
Джеймс Клерк Максвелл дает свое имя этим четырем элегантным уравнениям, но они являются кульминацией десятилетий работы многих физиков, в том числе Майкл Фарадей, Андре-Мари Ампер и Карл Фридрих Гаусс, которые дали свои имена трем из четырех уравнений, и многие другие. Хотя сам Максвелл добавил член только к одному из четырех уравнений, у него хватило дальновидности и понимания, чтобы собрать самые лучшие работы, которые были выполнены по данной теме, и представить их в стиле, который до сих пор используется физики сегодня.
В течение многих-многих лет физики считали электричество и магнетизм отдельными силами и разными явлениями. Но благодаря экспериментальной работе таких людей, как Фарадей, становилось все более ясно, что они на самом деле были двумя сторонами то же явление, и уравнения Максвелла представляют эту единую картину, которая по-прежнему актуальна сегодня, как и в XIX веке. век. Если вы собираетесь изучать физику на более высоком уровне, вам абсолютно необходимо знать уравнения Максвелла и то, как их использовать.
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла следующие, как в дифференциальной, так и в интегральной формах. (Обратите внимание, что хотя здесь полезно знать дифференциальные уравнения, концептуальное понимание возможно даже без него.)
Закон Гаусса для электричества
Дифференциальная форма:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Целостная форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Нет закона монополя / закон Гаусса для магнетизма
Дифференциальная форма:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Целостная форма:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Закон индукции Фарадея
Дифференциальная форма:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Целостная форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Закон Ампера-Максвелла / Закон Ампера
Дифференциальная форма:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Целостная форма:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Символы, используемые в уравнениях Максвелла
В уравнениях Максвелла используется довольно большой набор символов, и важно понимать, что они означают, если вы собираетесь научиться их применять. Итак, вот краткое изложение значений используемых символов:
B= магнитное поле
E= электрическое поле
ρ= плотность электрического заряда
ε0= диэлектрическая проницаемость свободного пространства = 8,854 × 10-12 м-3 кг-1 s4 А2
q= общий электрический заряд (чистая сумма положительных и отрицательных зарядов)
𝜙B = магнитный поток
J= плотность тока
я= электрический ток
c= скорость света = 2,998 × 108 РС
μ0 = проницаемость свободного пространства = 4π × 10−7 N / A2
Кроме того, важно знать, что ∇ - это оператор del, точка между двумя величинами (Икс ∙ Y) показывает скалярное произведение, выделенный жирным шрифтом символ умножения между двумя величинами - векторное произведение (Икс × Y), что оператор del с точкой называется «дивергенцией» (например, ∇ ∙ Икс= расхождениеИкс= divИкс), а оператор del со скалярным произведением называется ротором (например, ∇× Y= завитокY= завитокY). Наконец,Ав dАозначает площадь замкнутой поверхности, которую вы вычисляете (иногда обозначается как dS), аsв ds- очень маленькая часть границы открытой поверхности, для которой вы рассчитываете (хотя иногда это dл, имея в виду бесконечно малую линейную составляющую).
Вывод уравнений.
Первое уравнение уравнений Максвелла - это закон Гаусса, и он гласит, что чистый электрический поток через замкнутая поверхность равна суммарному заряду, содержащемуся внутри формы, деленному на диэлектрическую проницаемость свободного космос. Этот закон может быть выведен из закона Кулона после того, как будет сделан важный шаг по выражению закона Кулона в терминах электрического поля и его влияния на пробный заряд.
Второе уравнение Максвелла по сути эквивалентно утверждению, что «магнитных монополей не существует». Говорится что чистый магнитный поток через замкнутую поверхность всегда будет равен 0, потому что магнитные поля всегда являются результатом диполь. Этот закон можно вывести из закона Био-Савара, который описывает магнитное поле, создаваемое элементом тока.
Третье уравнение - закон индукции Фарадея - описывает, как изменяющееся магнитное поле создает напряжение в петле из проволоки или проводника. Первоначально он был получен в результате эксперимента. Однако, учитывая результат, что изменяющийся магнитный поток индуцирует электродвижущую силу (ЭДС или напряжение) и, следовательно, электрический ток в проволочной петлей и того факта, что ЭДС определяется как линейный интеграл электрического поля вокруг цепи, закон легко положить все вместе.
Четвертое и последнее уравнение, закон Ампера (или закон Ампера-Максвелла, чтобы отдать ему должное) вклад) описывает, как магнитное поле создается движущимся зарядом или изменяющимся электрическим поле. Закон является результатом эксперимента (и поэтому - как и все уравнения Максвелла - на самом деле не был «выведен» в традиционном смысле), но с использованиемТеорема Стоксаявляется важным шагом на пути к получению основного результата в той форме, которая используется сегодня.
Примеры уравнений Максвелла: закон Гаусса
Откровенно говоря, особенно если вы не совсем разбираетесь в векторном исчислении, уравнения Максвелла выглядят довольно устрашающе, несмотря на то, насколько все они относительно компактны. Лучший способ по-настоящему понять их - рассмотреть несколько примеров их использования на практике, и закон Гаусса - лучшее место для начала. Закон Гаусса - это, по сути, более фундаментальное уравнение, которое выполняет работу закона Кулона, и оно довольно легко вывести из него закон Кулона, рассматривая электрическое поле, создаваемое точкой заряжать.
Вызов обвиненияq, ключевым моментом в применении закона Гаусса является выбор правильной «поверхности» для исследования электрического потока. В этом случае хорошо работает сфера, имеющая площадь поверхностиА = 4πр2, потому что вы можете центрировать сферу на точечном заряде. Это огромное преимущество для решения подобных проблем, потому что тогда вам не нужно интегрировать изменяющееся поле по всей поверхности; поле будет симметричным относительно точечного заряда и, следовательно, будет постоянным по всей поверхности сферы. Итак, интегральная форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Может быть выражено как:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Обратите внимание, чтоEпоскольку электрическое поле было заменено простой величиной, потому что поле точечного заряда будет просто равномерно распространяться во всех направлениях от источника. Теперь разделение на площадь поверхности сферы дает:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Поскольку сила связана с электрическим полем соотношениемE = F/q, гдеqэто тестовый заряд,F = qE, и другие:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Где нижние индексы добавлены для различения двух обвинений. Это закон Кулона, сформулированный в стандартной форме, который является простым следствием закона Гаусса.
Примеры уравнений Максвелла: закон Фарадея
Закон Фарадея позволяет рассчитать электродвижущую силу в проволочной петле, возникающей в результате изменения магнитного поля. Простой пример - петля из проволоки с радиусомр= 20 см, в магнитном поле, которое увеличивается по величине отBя = От 1 доBж = 10 Тл в пространстве ∆т= 5 с - какова наведенная ЭДС в этом случае? Интегральная форма закона включает поток:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
который определяется как:
ϕ = BA \ cos (θ)
Ключевой частью проблемы здесь является определение скорости изменения потока, но поскольку проблема довольно проста, вы можете заменить частную производную простым «изменением» каждой величины. А интеграл на самом деле означает просто электродвижущую силу, поэтому вы можете переписать закон индукции Фарадея следующим образом:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Если мы предположим, что нормаль проволочной петли выровнена с магнитным полем,θ= 0 ° и поэтому cos (θ) = 1. Это оставляет:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Затем проблема может быть решена путем нахождения разницы между начальным и конечным магнитным полем и площадью петли следующим образом:
\ begin {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {выровнен}
Это всего лишь небольшое напряжение, но закон Фарадея в любом случае применяется одинаково.
Примеры уравнений Максвелла: закон Ампера-Максвелла
Закон Ампера-Максвелла - последнее из уравнений Максвелла, которое вам нужно будет применять регулярно. Уравнение возвращается к закону Ампера в отсутствие изменяющегося электрического поля, так что это самый простой пример для рассмотрения. Вы можете использовать его, чтобы вывести уравнение для магнитного поля, возникающего из-за прямого провода, по которому течет ток.я, и этого базового примера достаточно, чтобы показать, как используется уравнение. Полный закон:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Но без изменения электрического поля он сводится к:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Теперь, как и в случае с законом Гаусса, если вы выберете круг в качестве поверхности с центром в петле из проволоки, интуиция подсказывает, что результирующее магнитное поле будет симметричным, поэтому вы можете заменить интеграл простым произведением длины окружности контура и напряженности магнитного поля, уход:
B × 2πr = μ_0 I
Делим на 2πрдает:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Какое принято выражение для магнитного поля на расстояниирв результате прямого провода, по которому проходит ток.
Электромагнитные волны
Когда Максвелл собрал свою систему уравнений, он начал находить их решения, чтобы помочь объяснить различные явления в реальном мире, и понимание, которое оно дало свету, является одним из самых важных результатов, которые он полученный.
Поскольку изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле (по закону Ампера), а изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле (по закону Фарадея), Максвелл выяснил, что самораспространяющаяся электромагнитная волна может быть возможный. Он использовал свои уравнения, чтобы найти волновое уравнение, описывающее такую волну, и определил, что она будет двигаться со скоростью света. Это был своего рода момент «эврики»; он понял, что свет - это форма электромагнитного излучения, работающая точно так же, как поле, которое он себе представлял!
Электромагнитная волна состоит из волны электрического поля и волны магнитного поля, колеблющейся взад и вперед, выровненных под прямым углом друг к другу. Колебания электрической части волны генерируют магнитное поле, а колебания этой части, в свою очередь, снова создают электрическое поле, продолжающееся и продолжающееся по мере того, как оно движется в пространстве.
Как и любая другая волна, электромагнитная волна имеет частоту и длину волны, и их произведение всегда равноc, скорость света. Электромагнитные волны окружают нас повсюду, и, кроме видимого света, волны других длин обычно называют радиоволнами, микроволнами, инфракрасными, ультрафиолетовыми, рентгеновскими и гамма-лучами. Все эти формы электромагнитного излучения имеют одну и ту же основную форму, как объясняется уравнениями Максвелла, но их энергия зависит от частоты (т.е. более высокая частота означает более высокую энергию).
Итак, для физика Максвелл сказал: «Да будет свет!»