Будь то фигуристка, которая тянет за руки и крутится быстрее, чем она, или кошка, контролирующая скорость вращения. во время падения, чтобы гарантировать, что он приземлится на ноги, концепция момента инерции имеет решающее значение для физики вращения. движение.
Момент инерции, иначе известный как вращательная инерция, является вращательным аналогом массы в второй из законов движения Ньютона, описывающий склонность объекта сопротивляться угловому ускорению.
Поначалу концепция может показаться не слишком интересной, но в сочетании с законом сохранения угловой импульса, его можно использовать для описания многих увлекательных физических явлений и предсказания движения в широком диапазоне ситуации.
Определение момента инерции
Момент инерции объекта описывает его сопротивление угловому ускорению с учетом распределения массы вокруг его оси вращения.
По сути, он количественно определяет, насколько сложно изменить скорость вращения объекта, означает ли это начало его вращения, остановку или изменение скорости уже вращающегося объекта.
Иногда его называют инерцией вращения, и полезно рассматривать его как аналог массы во втором законе Ньютона:Fсеть = ма. Здесь массу объекта часто называют инерционной массой, и она описывает сопротивление объекта (линейному) движению. Вращательная инерция работает точно так же для вращательного движения, и математическое определение всегда включает массу.
Эквивалентное выражение второму закону для вращательного движения связываеткрутящий момент (τ, вращательный аналог силы) до углового ускоренияαи момент инерциия:
\ тау = I \ альфа
Однако один и тот же объект может иметь несколько моментов инерции, поскольку, хотя большая часть определения касается распределения массы, оно также учитывает положение оси вращения.
Например, в то время как момент инерции стержня, вращающегося вокруг своего центра, равеня = ML2/ 12 (гдеMмасса иL- длина стержня), тот же стержень, вращающийся вокруг одного конца, имеет момент инерции, равныйя = ML2/3.
Уравнения для момента инерции.
Итак, момент инерции тела зависит от его массы.M, его радиусри его ось вращения.
В некоторых случаях,рупоминается какd, для расстояния от оси вращения, а в других (как и в случае стержня в предыдущем разделе) заменяется длиной,L. Символяиспользуется для момента инерции и измеряется в кг · м2.
Как и следовало ожидать, исходя из того, что вы уже узнали, существует множество различных уравнений для момента инерции, и каждое относится к определенной форме и определенной оси вращения. Во все моменты инерции срокМИСТЕР2 появляется, хотя для разных форм перед этим членом указаны разные дроби, а в некоторых случаях может быть суммировано несколько членов.
ВМИСТЕР2 Компонент - момент инерции точечной массы на расстояниирот оси вращения, и уравнение для конкретного твердого тела строится как сумма точечных масс или путем интегрирования бесконечного числа малых точечных масс над объектом.
Хотя в некоторых случаях может быть полезно определить момент инерции объекта на основе простой арифметической суммы точечных масс или интегрируя, на практике есть много результатов для общих форм и осей вращения, которые вы можете просто использовать, не выводя их первый:
Сплошной цилиндр (ось симметрии):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Сплошной цилиндр (ось центрального диаметра или диаметр круглого поперечного сечения в середине цилиндра):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Твердая сфера (центральная ось):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Тонкая сферическая оболочка (центральная ось):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Обруч (ось симметрии, т. Е. Перпендикулярно центру):
Я = MR ^ 2
Пяльцы (ось диаметра, т. Е. Поперек диаметра окружности, образованной обручем):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Стержень (центральная ось, перпендикулярная длине стержня):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Стержень (вращающийся вокруг конца):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Инерция вращения и ось вращения
Понимание того, почему существуют разные уравнения для каждой оси вращения, является ключевым шагом к пониманию концепции момента инерции.
Подумайте о карандаше: вы можете вращать его, вращая его посередине, на конце или вращая вокруг его центральной оси. Поскольку инерция вращения объекта зависит от распределения массы вокруг оси вращения, каждая из этих ситуаций отличается и требует отдельного уравнения для ее описания.
Вы можете инстинктивно понять концепцию момента инерции, если масштабируете тот же аргумент до 30-футового флагштока.
Вращать его из стороны в сторону было бы очень сложно - если бы вы вообще могли с этим справиться, - тогда как вращать шест вокруг его центральной оси было бы намного проще. Это связано с тем, что крутящий момент сильно зависит от расстояния от оси вращения, а в 30-футовом пример флагштока, вращая его конец за концом, каждый крайний конец должен находиться на расстоянии 15 футов от оси вращение.
Однако если закрутить его вокруг центральной оси, все довольно близко к оси. Ситуация очень похожа на перенос тяжелого предмета на расстоянии вытянутой руки. держать его близко к телу или управлять рычагом с конца vs. близко к точке опоры.
Вот почему вам нужно другое уравнение для описания момента инерции одного и того же объекта в зависимости от оси вращения. Выбранная вами ось влияет на то, как далеко части тела находятся от оси вращения, даже если масса тела остается прежней.
Использование уравнений для момента инерции
Ключ к вычислению момента инерции твердого тела - это научиться использовать и применять соответствующие уравнения.
Возьмем, к примеру, карандаш из предыдущего раздела, который скручивают с торца на концах вокруг центральной точки вдоль его длины. Пока это неидеальностержня (например, заостренный кончик ломает эту форму) его можно смоделировать как таковой, чтобы избавить вас от необходимости проходить полный момент инерции объекта.
Итак, моделируя объект в виде стержня, вы должны использовать следующее уравнение, чтобы найти момент инерции в сочетании с общей массой и длиной карандаша:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Более сложная задача - найти момент инерции для составных объектов.
Например, рассмотрим два шара, соединенных стержнем (который мы будем считать безмассовым, чтобы упростить задачу). Первый мяч весит 2 кг и расположен на расстоянии 2 м от оси вращения, а второй мяч имеет массу 5 кг и находится на расстоянии 3 м от оси вращения.
В этом случае вы можете найти момент инерции для этого составного объекта, рассматривая каждый шар как точечную массу и исходя из основного определения, которое:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {выравнивается}
С помощью нижних индексов просто различать разные объекты (например, шар 1 и шар 2). Тогда объект с двумя шарами будет иметь:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {выровнено}
Момент инерции и сохранение углового момента.
Угловой момент (вращательный аналог для количества движения) определяется как произведение вращательной инерции (т.е. момента инерции,я) объекта и его угловой скоростиω), который измеряется в градусах / с или рад / с.
Вы, несомненно, знакомы с законом сохранения количества движения, и момент количества движения сохраняется таким же образом. Уравнение для углового моментаL) является:
L = Iω
Размышление о том, что это означает на практике, объясняет многие физические явления, потому что (в отсутствие других сил), чем выше инерция вращения объекта, тем ниже его угловая скорость.
Представьте фигуриста, вращающегося с постоянной угловой скоростью с вытянутыми руками, и обратите внимание, что его вытянутые руки увеличивают радиусротносительно которого распределяется его масса, что приводит к большему моменту инерции, чем если бы его руки были близко к его телу.
ЕслиL1 рассчитывается с вытянутыми руками, иL2, после вытягивания рук должно иметь такое же значение (поскольку угловой момент сохраняется), что произойдет, если он уменьшит свой момент инерции, втягивая руки? Его угловая скоростьωувеличивается для компенсации.
Кошки совершают аналогичные движения, чтобы помочь им приземлиться на ноги при падении.
Вытягивая ноги и хвост, они увеличивают момент инерции и снижают скорость своего вращения. и, наоборот, они могут втягивать ноги, чтобы уменьшить момент инерции и увеличить скорость вращения. Они используют эти две стратегии - наряду с другими аспектами своего «рефлекса выпрямления» - чтобы их ноги приземлились. во-первых, и вы можете увидеть отчетливые фазы сворачивания и вытягивания на покадровых фотографиях кошки. посадка.
Момент инерции и вращательная кинетическая энергия.
Продолжая параллели между линейным движением и вращательным движением, объекты также обладают кинетической энергией вращения так же, как они имеют линейную кинетическую энергию.
Представьте мяч, катящийся по земле, одновременно вращающийся вокруг своей центральной оси и движущийся вперед линейно: общая кинетическая энергия мяча складывается из его линейной кинетической энергии.Ek и его вращательная кинетическая энергияEгнить. Параллели между этими двумя энергиями отражаются в уравнениях для обоих, помня, что объект момент инерции - вращательный аналог массы, а его угловая скорость - вращательный аналог линейной скоростьv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Вы можете ясно видеть, что оба уравнения имеют точно такую же форму, с соответствующими аналогами вращения, замененными уравнением кинетической энергии вращения.
Конечно, чтобы вычислить кинетическую энергию вращения, вам нужно будет подставить соответствующее выражение для момента инерции объекта в пространство дляя. Рассматривая мяч и моделируя объект как твердую сферу, уравнение в этом случае выглядит следующим образом:
\ begin {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {выровнено}
Полная кинетическая энергия (Eмалыш) является суммой этого и кинетической энергии мяча, поэтому вы можете написать:
\ begin {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { выровнен}
Для шара весом 1 кг, движущегося с линейной скоростью 2 м / с, с радиусом 0,3 м и с угловой скоростью 2π рад / с, полная энергия будет:
\ begin {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {кг} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2.71 \; \ text {J} \ end {выровнен}
В зависимости от ситуации объект может обладать только линейной кинетической энергией (например, мяч, упавший из высота без придания ему вращения) или только кинетическая энергия вращения (шар вращается, но остается на месте).
Помните, что этообщееэнергия, которая сохраняется. Если мяч ударяется о стену без начального вращения, и он отскакивает обратно с меньшей скоростью, но с придаваемым вращением, а также с энергией теряется из-за звука и тепла при контакте, часть начальной кинетической энергии передается во вращательную кинетическую энергию, и поэтомуне могувозможно, двигаться так же быстро, как прежде, чем отскочить назад.