В алгебре последовательности чисел полезны для изучения того, что происходит, когда что-то становится больше или меньше. Арифметическая последовательность определяется общей разницей, то есть разницей между одним числом и следующим в последовательности. Для арифметических последовательностей эта разница является постоянной величиной и может быть положительной или отрицательной. В результате арифметическая последовательность становится больше или меньше на фиксированную величину каждый раз, когда в список, составляющий последовательность, добавляется новое число.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Арифметическая последовательность - это список чисел, в которых последовательные члены отличаются на постоянную величину, общую разницу. Когда общая разница положительна, последовательность продолжает увеличиваться на фиксированную величину, а если она отрицательна, последовательность уменьшается. Другими распространенными последовательностями являются геометрическая последовательность, в которой члены различаются общим множителем, и последовательность Фибоначчи, в которой каждое число является суммой двух предыдущих чисел.
Как работает арифметическая последовательность
Арифметическая последовательность определяется начальным номером, общей разницей и количеством терминов в последовательности. Например, арифметическая последовательность, начинающаяся с 12, общая разница между 3 и пятью членами составляет 12, 15, 18, 21, 24. Примером убывающей последовательности является последовательность, начинающаяся с числа 3, общая разница -2 и шесть членов. Эта последовательность - 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Арифметические последовательности также могут содержать бесконечное количество членов. Например, первая приведенная выше последовательность с бесконечным количеством членов будет 12, 15, 18,... и эта последовательность продолжается до бесконечности.
Среднее арифметическое
Арифметическая последовательность имеет соответствующий ряд, в который складываются все члены последовательности. Когда члены складываются и сумма делится на количество членов, результатом является среднее арифметическое или среднее. Формула для среднего арифметического:
\ text {mean} = \ frac {\ text {сумма} n \ text {terms}} {n}
Быстрый способ вычисления среднего арифметической последовательности - использовать наблюдение, что когда первая и последняя термины добавляются, сумма такая же, как и при добавлении второго и предпоследнего терминов или третьего и третьего к последнему термины. В результате сумма последовательности равна сумме первого и последнего членов, умноженной на половину числа членов. Чтобы получить среднее значение, сумма делится на количество членов, поэтому среднее арифметической последовательности составляет половину суммы первого и последнего членов. Дляптерминыа1 кап, соответствующая формула для среднего m имеет вид
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
У бесконечных арифметических последовательностей нет последнего члена, поэтому их среднее значение не определено. Вместо этого можно найти среднее значение для частичной суммы, ограничив сумму определенным числом членов. В этом случае частичную сумму и ее среднее значение можно найти так же, как и для небесконечной последовательности.
Другие типы последовательностей
Последовательности чисел часто основаны на наблюдениях в ходе экспериментов или измерениях природных явлений. Такие последовательности могут быть случайными числами, но часто последовательности оказываются арифметическими или другими упорядоченными списками чисел.
Например, геометрические последовательности отличаются от арифметических последовательностей, потому что у них есть общий фактор, а не общее различие. Вместо добавления или вычитания числа для каждого нового члена число умножается или делится каждый раз, когда добавляется новый термин. Последовательность 10, 12, 14,... как арифметическая последовательность с общей разностью 2 становится 10, 20, 40,... как геометрическая последовательность с общим множителем 2.
Остальные последовательности подчиняются совершенно другим правилам. Например, члены последовательности Фибоначчи формируются путем сложения двух предыдущих чисел. Его последовательность - 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Чтобы получить частичную сумму, члены должны добавляться по отдельности, поскольку быстрый метод добавления первого и последнего членов не работает для этой последовательности.
Арифметические последовательности просты, но имеют практическое применение. Если начальная точка известна и общая разница может быть найдена, значение ряда в определенной точке в будущем может быть вычислено, а также может быть определено среднее значение.