Как понять, что число рационально

Рациональное число - это, как следует из названия, любое число, которое может быть выражено как отношение или дробь. Число 6 является рациональным числом, потому что его можно выразить как 6/1, хотя это было бы необычно. 4,5 - рациональное число, так как его можно представить как 9/2.

Однако многие важные числа в математике иррациональны, и их нельзя записать в виде отношений. К ним относятся пи или π, которое является отношением длины окружности к ее диаметру и равно 3,141592654...; и квадратный корень из 5, равный 2,236067977... Конечные точки обозначают бесконечную неповторяющуюся серию цифр справа от десятичной точки.

Существует ряд методов определения рациональности числа.

Любое число, которое можно записать в виде дроби или отношения, является рациональным числом. Следовательно, произведение любых двух рациональных чисел является рациональным числом, потому что оно также может быть выражено в виде дроби. Например, 5/7 и 13/120 являются рациональными числами, и их произведение 65/840 также является рациональным числом. (65/140 сокращается до 13/28, но для нынешних целей это не важно.)

Это менее тривиально, чем может показаться, потому что легко забыть, что целые числа (... −3, −2, −1, 0, 1, 2 и т. Д.) Можно записать в виде дробей со знаминателем 1, например, −3/1, −2/1 и т. Д.

Важно отметить, что некоторые числа, содержащие бесконечную последовательность чисел справа от десятичного знака, являются рациональными; ключ в том, что он должен включать повторяющуюся последовательность. Например

Повторяющийся сегмент часто обозначается полосой над повторяющейся частью:

Большинство чисел, выражаемых квадратными корнями, являются иррациональными числами. Исключение составляют так называемые полные квадраты, которые представляют собой квадраты целых чисел (0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 и т. Д.).