Круги в реальном мире встречаются повсюду, поэтому их радиусы, диаметры и окружность имеют большое значение в реальных приложениях. Но есть и другие части окружностей, например секторы и углы, которые также имеют значение в повседневных приложениях. Примеры включают размеры секторов круглых блюд, таких как торты и пироги, угол поворота колеса обозрения, размер шины для конкретного транспортного средства и особенно размер кольца для зацепления или свадьба. По этим и другим причинам в геометрии также есть уравнения и вычисления задач, относящиеся к центральным углам, дугам и секторам окружности.
Что такое центральный угол?
Центральный угол определяется как угол, образованный двумя лучами или радиусами, исходящими из центра круга, причем центр круга является вершиной центрального угла. Центральные углы особенно важны, когда речь идет о равномерном разделении пиццы или любой другой круглой пищи между определенным количеством людей. Допустим, на вечеринке пять человек, где нужно разделить большую пиццу и большой торт. Под каким углом должны быть разделены и пицца, и торт, чтобы всем оставался равный кусок? Поскольку в круге 360 градусов, вычисление превращается в 360 градусов, разделенные на 5, чтобы получить 72 градуса, так что каждый ломтик, будь то пицца или торт, будет иметь центральный угол или тета (θ) размером 72 градусов.
Определение центрального угла по длине дуги
Дуга круга относится к «части» окружности круга. Следовательно, длина дуги - это длина этой «части». Если вы представите кусок пиццы, площадь сектора может быть визуализируется как весь кусок пиццы, но длина дуги - это длина внешнего края корочки для этого конкретный кусок. По длине дуги можно рассчитать центральный угол. Действительно, одна формула, которая может помочь в определении центрального угла, гласит, что длина дуги равна радиусу, умноженному на центральный угол, или
s = r × θ
где угол тета должен быть измерен в радианах. Таким образом, чтобы найти центральный угол, тета, нужно всего лишь разделить длину дуги на радиус, или
\ frac {s} {r} = θ
Для иллюстрации, если длина дуги равна 5,9, а радиус равен 3,5329, то центральный угол становится 1,67 радиана. Другой пример: если длина дуги равна 2, а радиус равен 2, центральный угол становится 1 радиан. Если вы хотите преобразовать радианы в градусы, помните, что 1 радиан равен 180 градусам, разделенным на π, или 57,2958 градусам. И наоборот, если в уравнении требуется преобразовать градусы обратно в радианы, сначала умножьте на π, а затем разделите на 180 градусов.
Определение центрального угла по площади сектора
Еще одна полезная формула для определения центрального угла - это площадь сектора, которую снова можно визуализировать как кусок пиццы. Эту формулу можно рассматривать двояко. В первом случае центральный угол измеряется в градусах, так что площадь сектора равна π, умноженному на квадрат радиуса, а затем умноженный на величину центрального угла в градусах, деленную на 360 градусов. Другими словами:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {центральный угол в градусах}} {360 \ text {градусы}} = \ text {область сектора}
Если центральный угол измеряется в радианах, формула принимает следующий вид:
\ text {площадь сектора} = r ^ 2 × \ frac {\ text {центральный угол в радианах}} {2}
Перестановка формул поможет найти значение центрального угла или тета. Рассмотрим сектор площадью 52,3 квадратных сантиметра с радиусом 10 сантиметров. Каким будет его центральный угол в градусах? Расчеты начнутся с площади сектора 52,3 квадратных сантиметра, равной:
\ frac {θ} {360 \ text {градусы}} × πr ^ 2
Поскольку радиус (р) равно 10, все уравнение можно записать в виде:
\ frac {52.3} {100π} × 360
так что тэту можно записать как:
\ frac {52.3} {314} × 360
Таким образом, окончательный ответ - центральный угол 60 градусов.