Как только вы начнете заниматься тригонометрией и исчислением, вы можете столкнуться с такими выражениями, как sin (2θ), где вас просят найти значениеθ. Игра методом проб и ошибок с диаграммами или калькулятором, чтобы найти ответ, может варьироваться от затяжного кошмара до совершенно невозможного. К счастью, двойные тождества здесь, чтобы помочь. Это особые примеры того, что известно как составная формула, которая нарушает функции форм (А + B) или же (А – B) вниз в функции всегоАа такжеB.
Двойные углы для синуса
Есть три двойных угловых тождества, по одному для функций синуса, косинуса и тангенса. Но тождества синуса и косинуса можно записать разными способами. Вот два способа записать тождество двойного угла для синусоидальной функции:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Двойные углы для косинуса
Есть еще больше способов записать тождество двойного угла для косинуса:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1-2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Двойная угловая идентичность касательной
К счастью, есть только один способ записать тождество двойного угла для функции касательной:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Использование двухугловой идентичности
Представьте, что вы столкнулись с прямоугольным треугольником, длина сторон которого вам известна, но не углы. Вас попросили найтиθ, гдеθодин из углов треугольника. Если гипотенуза треугольника имеет размер 10 единиц, сторона, прилегающая к вашему углу, составляет 6 единиц. а сторона, противоположная углу, составляет 8 единиц, не имеет значения, что вы не знаете меруθ; вы можете использовать свои знания о синусе и косинусе, а также одну из формул двойного угла, чтобы найти ответ.
После того, как вы выбрали угол, вы можете определить синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе, а косинус как отношение соседней стороны к гипотенузе. Итак, в только что приведенном примере у вас есть:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Вы найдете эти два выражения, потому что они являются наиболее важными строительными блоками для формул двойного угла.
Поскольку существует так много формул двойного угла на выбор, вы можете выбрать ту, которую легче вычислить, и которая вернет нужный вам тип информации. В этом случае, потому что ты знаешь грехθи потомуθуже ясно, что наиболее удобное выражение:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Вы уже знаете значения sinθ и cosθ, поэтому подставьте их в уравнение:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
После упрощения у вас будет:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Большинство тригонометрических диаграмм даны в десятичном формате, поэтому теперь поработайте над делением, представленным дробью, чтобы преобразовать ее в десятичную форму. Теперь у вас есть:
\ sin (2θ) = 0,96
Наконец, найдите обратный синус или арксинус 0,96, который записывается как sin −1(0.96). Или, другими словами, используйте свой калькулятор или диаграмму, чтобы приблизительно определить угол с синусом 0,96. Оказывается, это почти в точности 73,7 градуса. Итак 2θ= 73,7 градуса.
Разделите каждую часть уравнения на 2. Это дает вам:
θ = 36,85 \ text {градусы}