Многоугольник - это любая замкнутая двумерная фигура с 3 или более прямыми (не изогнутыми) сторонами, а 12-сторонний многоугольник известен как двенадцатигранник. Правильный двенадцатигранник имеет равные стороны и углы, и можно вывести формулу для вычисления его площади. Неправильный двенадцатигранник имеет стороны разной длины и разные углы. Примером может служить шестиконечная звезда. Нет простого способа вычислить площадь неправильной 12-сторонней фигуры, если только вы не нанесли ее на график и не можете прочитать координаты каждой из вершин. В противном случае лучшая стратегия - разделить фигуру на правильные формы, для которых вы можете рассчитать площадь.
Расчет площади правильного 12-стороннего многоугольника
Чтобы вычислить площадь правильного двенадцатиугольника, вам нужно найти его центр, и лучший способ сделать это - начертить вокруг него круг, который касается каждой из его вершин. Центр круга - это центр двенадцатиугольника, а расстояние от центра фигуры до каждой из его вершин - это просто радиус круга (
р). Каждая из 12 сторон рисунка имеет одинаковую длину, поэтому обозначьте это какs.Вам нужно еще одно измерение, и это длина перпендикулярной линии, проведенной от середины каждой стороны к центру 12-сторонней формы. Эта линия известна как апофема. Обозначим его длину черезм. Он делит каждую секцию, образованную радиусными линиями, на два прямоугольных треугольника. Ты не знаешьм, но вы можете найти его с помощью теоремы Пифагора.
12 радиальных линий делят окружность, начерченную вами вокруг двенадцатиугольника, на 12 равных частей, поэтому в центре фигуры угол между каждой линией и соседней составляет 30 градусов. Каждая из 12 секций, образованных радиусными линиями, состоит из пары прямоугольных треугольников с гипотенузой.ри один угол 15 градусов. Сторона, примыкающая к углу, равнам, поэтому вы можете найти его, используя r и синус угла.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {и решите для} m \\ m = r × \ sin (15)
Теперь вы можете найти площадь каждого из равнобедренных треугольников, вписанных в двенадцатигранник, потому что вы знаете длину основания, которая равнаs- и высота,м. Площадь каждого треугольника равна
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {align}
Таких секций 12, поэтому умножьте на 12, чтобы найти общую площадь правильной 12-сторонней формы:
\ text {Площадь правильного двенадцатиугольника} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Определение площади неправильного двенадцатигранника
Не существует формулы для определения площади неправильного двенадцатиугольника, поскольку длины сторон и углов не совпадают. Даже центр определить сложно. Лучшая стратегия - разделить фигуру на правильные формы, вычислить площадь каждой и сложить их.
Если фигура нанесена на график и вы знаете координаты вершин, есть формула, которую вы можете использовать для вычисления площади. Если каждая точка (п) определяется выражением (Иксп, уп), и вы обойдете фигуру по порядку, либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки, чтобы получить серию из 12 точек, площадь равна:
\ text {Area} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}