В математике для опровержения утверждения используется контрпример. Если вы хотите доказать, что утверждение истинно, вы должны написать доказательство, чтобы продемонстрировать, что оно всегда верно; приведение примера недостаточно. По сравнению с написанием доказательства написать контрпример намного проще; если вы хотите показать, что утверждение неверно, вам нужно предоставить только один пример сценария, в котором утверждение неверно. Большинство контрпримеров в алгебре связано с числовыми манипуляциями.
Два класса математики
Корректура и поиск контрпримеров - два основных класса математики. Большинство математиков сосредотачиваются на написании корректуры, чтобы разработать новые теоремы и свойства. Когда утверждения или предположения не могут быть подтверждены, математики опровергают их, приводя контрпримеры.
Контрпримеры конкретны
Вместо использования переменных и абстрактных обозначений вы можете использовать числовые примеры для опровержения аргумента. В алгебре большинство контрпримеров включают манипуляции с использованием различных положительных и отрицательных или нечетных и четных чисел, крайних случаев и специальных чисел, таких как 0 и 1.
Достаточно одного контрпримера
Философия контрпримера заключается в том, что если в одном сценарии утверждение не соответствует действительности, то утверждение ложно. Нематематический пример: «Том никогда не лгал». Чтобы показать, что это утверждение истинно, вы должны предоставить «доказательство» того, что Том никогда не лгал, отслеживая каждое заявление, которое Том когда-либо делал. Однако, чтобы опровергнуть это утверждение, вам нужно показать только одну ложь, которую когда-либо говорил Том.
Знаменитые контрпримеры
«Все простые числа нечетные». Хотя почти все простые числа, включая все простые числа больше 3, нечетные, «2» - это простое число, которое является четным; это утверждение ложно; «2» - соответствующий контрпример.
«Вычитание коммутативно». И сложение, и умножение коммутативны - их можно выполнять в любом порядке. То есть для любых действительных чисел a и b, a + b = b + a и a * b = b * a. Однако вычитание не коммутативно; Контрпример, подтверждающий это: 3-5 не равно 5-3.
«Всякая непрерывная функция дифференцируема». Абсолютная функция | x | непрерывно для всех положительных и отрицательных чисел; но он не дифференцируем при x = 0; поскольку | x | является непрерывной функцией, этот контрпример доказывает, что не всякая непрерывная функция дифференцируема.