Авекторэто величина, с которой связаны как величина, так и направление. Это отличается отскалярколичество, которое соответствует только величине. Скорость - это пример векторной величины. Он имеет как величину (насколько быстро что-то движется), так и направление (направление, в котором оно движется).
Векторы часто изображаются в виде стрелок. Длина стрелки соответствует величине вектора, а острие стрелки указывает направление.
Есть два способа работы с векторным сложением и вычитанием. Первый - графически, манипулируя стрелочными диаграммами самих векторов. Второй - математический, который дает точные результаты.
Сложение и вычитание графических векторов в одном измерении
При добавлении двух векторов вы помещаете хвост второго вектора на вершину первого вектора, сохраняя при этом ориентацию вектора. Врезультирующий вектор- это вектор, который начинается в конце первого вектора и указывает по прямой линии до конца второго вектора.
Например, рассмотрите возможность добавления векторовАа также
Вычитание векторов в одном измерении по сути то же самое, что и сложение, за исключением того, что вы «переворачиваете» второй вектор. Это напрямую связано с тем фактом, что вычитание - это то же самое, что и добавление отрицательного числа.
Математическое сложение и вычитание векторов в одном измерении
При работе в одном измерении направление вектора может быть указано знаком. Мы выбираем одно направление в качестве положительного (обычно «вверх» или «вправо» выбираются как положительные) и назначаем любой вектор, указывающий в этом направлении, как положительную величину. Любой вектор, указывающий в отрицательном направлении, является отрицательной величиной. При сложении или вычитании векторов складывайте или вычитайте их величины с соответствующими знаками.
Предположим, что в предыдущем разделе векторАимел величину 3 и векторBимел величину 5. Тогда результирующий векторС = А + В =8, вектор величиной 8, указывающий в положительном направлении, и результирующий векторD = А - В =-2, вектор величиной 2, направленный в отрицательном направлении. Обратите внимание, что это согласуется с предыдущими графическими результатами.
Совет: будьте осторожны, складывайте только векторы одного и того же типа: скорость + скорость, сила + сила и т. Д. Как и во всей математике в физике, единицы должны совпадать!
Сложение и вычитание графических векторов в двух измерениях
Если первый вектор и второй вектор не находятся на одной линии в декартовом пространстве, вы можете использовать один и тот же метод «кончик к хвосту», чтобы добавить или вычесть их. Чтобы сложить два вектора, просто представьте, что вы поднимаете второй и помещаете его хвост на кончик первого, сохраняя его ориентацию, как показано. Результирующий вектор представляет собой стрелку, начинающуюся в конце первого вектора и заканчивающуюся на вершине второго вектора:
Как и в одном измерении, вычитание одного вектора из другого эквивалентно переворачиванию и сложению. Графически это выглядит так:
•••Дана Чен | Наука
Примечание. Иногда сложение векторов отображается графически, складывая хвосты двух слагаемых векторов вместе и создавая параллелограмм. Результирующий вектор будет диагональю этого параллелограмма.
Математическое сложение и вычитание векторов в двух измерениях
Чтобы математически сложить и вычесть векторы в двух измерениях, выполните следующие действия:
Разложите каждый вектор наИкс-компонент, иногда называемый горизонтальным компонентом, иу-компонент, иногда называемый вертикальным компонентом, с использованием тригонометрии. (Обратите внимание, что компоненты могут быть как отрицательными, так и положительными, в зависимости от того, в каком направлении указывает вектор)
ДобавитьИкс-компоненты обоих векторов вместе, а затем сложитеу-компоненты обоих векторов вместе. Этот результат дает вамИкса такжеукомпоненты результирующего вектора.
Величину результирующего вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора.
Направление результирующего вектора можно найти с помощью тригонометрии, используя функцию обратного тангенса. Это направление обычно задается как угол относительно положительногоИкс-ось.
Тригонометрия в сложении векторов
Вспомните отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника из тригонометрии.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Теорема Пифагора:
с ^ 2 = а ^ 2 + Ь ^ 2
Движение снаряда представляет собой классические примеры того, как мы можем использовать эти отношения как для разложения вектора, так и для определения окончательной величины и направления вектора.
Представьте, что два человека играют в мяч. Предположим, вам говорят, что мяч брошен с высоты 1,3 м со скоростью 16 м / с под углом 50 градусов к горизонту. Чтобы начать анализ этой проблемы, вам нужно будет разложить этот вектор начальной скорости наИкса такжеукомпоненты, как показано:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ текст {м / с}
Если кетчер промахнется по мячу и он упадет на землю, с какой конечной скоростью он ударится?
Используя кинематические уравнения, мы можем определить, что окончательные компоненты скорости шара:
v_ {xf} = 10,3 \ text {м / с} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {м / с}
Теорема Пифагора позволяет нам найти величину:
v_ {f} = \ sqrt {(10,3) ^ 2 + (-13,3) ^ 2} = 16,8 \ text {м / с}
А тригонометрия позволяет определить угол:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52,2 \ градус
Пример сложения и вычитания векторов
Представьте себе машину, которая выезжает за угол. Предполагатьvядля машины находится вИкс-направление с магнитудой 10 м / с, иvжнаходится под углом 45 градусов к положительномуИкс- ось с магнитудой 10 м / с. Если это изменение движения происходит через 3 секунды, какова величина и направление ускорения автомобиля при повороте?
Напомним, что ускорениеа- векторная величина, определяемая как:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Гдеvжа такжеvя- конечная и начальная скорости соответственно (а значит, также векторные величины).
Чтобы вычислить разность векторовvж - vя,мы должны сначала разложить начальный и конечный векторы скорости:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {м / с}
Затем вычитаем последнийИкса такжеукомпоненты из начальногоИкса такжеукомпоненты для получения компонентовvж - vя:
Затем мы вычитаемИкса такжеусоставные части:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ text {м / с}
Затем разделите каждый на время, чтобы получить компоненты вектора ускорения:
a_x = \ frac {-2,93} {3} = - 0,977 \ text {м / с} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7,07} {3} = 2,36 \ text {м / с} ^ 2
Используйте теорему Пифагора, чтобы найти величину вектора ускорения:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ text {м / с} ^ 2
Наконец, используйте тригонометрию, чтобы найти направление вектора ускорения:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ градус