Распределение Максвелла-Больцмана: функция, вывод и примеры

Описание того, что происходит с очень маленькими частицами, является сложной задачей для физики. Мало того, что с их размером трудно работать, но и в большинстве повседневных приложений вы имеете дело не с одной частицей, а с бесчисленным множеством из них, взаимодействующих друг с другом.

В твердом теле частицы не движутся друг мимо друга, а скорее застревают на месте. Однако твердые тела могут расширяться и сжиматься при изменении температуры, а иногда даже претерпевают интересные изменения в кристаллических структурах в определенных ситуациях.

В жидкостях частицы могут свободно перемещаться друг мимо друга. Однако ученые не склонны изучать жидкости, пытаясь отслеживать, что делает каждая отдельная молекула. Вместо этого они обращают внимание на более крупные свойства целого, такие как вязкость, плотность и давление.

Как и в случае с жидкостями, частицы в газе могут свободно перемещаться друг мимо друга. Фактически, газы могут претерпевать резкие изменения в объеме из-за разницы в температуре и давлении.

Опять же, нет смысла изучать газ, отслеживая, что делает каждая отдельная молекула газа, даже при тепловом равновесии. Это было бы нереально, особенно если учесть, что даже в пустом стакане их около 10²² молекулы воздуха. Нет даже компьютера, достаточно мощного, чтобы смоделировать такое количество взаимодействующих молекул. Вместо этого ученые используют макроскопические свойства, такие как давление, объем и температура, чтобы изучать газы и делать точные прогнозы.

Тип газа, который легче всего анализировать, - это идеальный газ. Он идеален, потому что допускает определенные упрощения, которые значительно упрощают понимание физики. Многие газы при стандартных температурах и давлениях действуют примерно как идеальные газы, что также делает их изучение полезным.

Предполагается, что в идеальном газе сами молекулы газа сталкиваются в совершенно упругих столкновениях, поэтому вам не нужно беспокоиться об изменении формы энергии в результате таких столкновений. Также предполагается, что молекулы находятся очень далеко друг от друга, что по существу означает вам не нужно беспокоиться о том, что они борются друг с другом за пространство, и вы можете относиться к ним как к точке частицы. Идеальные газы также не слишком горячие и не слишком холодные, поэтому вам не нужно беспокоиться о таких эффектах, как ионизация или квантовые эффекты.

Отсюда с частицами газа можно обращаться как с маленькими точечными частицами, подпрыгивающими внутри своего контейнера. Но даже с этим упрощением все еще невозможно понять газы, отслеживая, что делает каждая отдельная частица. Однако это позволяет ученым разрабатывать математические модели, которые описывают отношения между макроскопическими величинами.

Закон идеального газа связывает давление, объем и температуру идеального газа. Давлениепгаза - это сила на единицу площади, которую он оказывает на стенки контейнера, в котором он находится. Единица давления в системе СИ - паскаль (Па), где 1 Па = 1 Н / м.². ГромкостьVгаза - это объем пространства, который он занимает в единицах СИ, м³. И температураТгаза - это мера средней кинетической энергии на молекулу, измеряемая в единицах СИ - Кельвинах.

Уравнение, описывающее закон идеального газа, можно записать следующим образом:

ГдеNчисло молекул или число частиц и постоянная Больцманаk​ = 1.38064852×10^-23 кгм²/ с²К.

Эквивалентная формулировка этого закона:

Гдеп- число молей, а универсальная газовая постояннаяр= 8,3145 Дж / мольК.

Эти два выражения эквивалентны. Какой из них вы выберете, просто зависит от того, измеряете ли вы количество молекул в молях или в количестве молекул.

• 1 моль = 6,022 × 10²³ молекул, что является числом Авогадро.

После того, как газ приблизился к идеальному, вы можете сделать дополнительное упрощение. То есть, вместо того, чтобы рассматривать точную физику каждой молекулы - что было бы невозможно из-за их огромного количества - они рассматриваются как случайные их движения. Благодаря этому можно применять статистику, чтобы понять, что происходит.

В XIX веке физики Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман разработали кинетическую теорию газов, основанную на описанных упрощениях.

Классически каждая молекула в газе может иметь приписываемую ей кинетическую энергию в форме:

Однако не каждая молекула в газе имеет одинаковую кинетическую энергию, потому что они постоянно сталкиваются. Точное распределение кинетических энергий молекул дается распределением Максвелла-Больцмана.

Статистика Максвелла-Больцмана описывает распределение молекул идеального газа по различным энергетическим состояниям. Функция, описывающая это распределение, выглядит следующим образом:

ГдеА- нормировочная константа,Eэто энергия,kпостоянная Больцмана иТэто температура.

Дальнейшие предположения, сделанные для получения этой функции, заключаются в том, что из-за их природы точечных частиц нет предела тому, сколько частиц может занимать данное состояние. Кроме того, распределение частиц по энергетическим состояниям обязательно принимает наиболее вероятное распределение (с большее количество частиц, вероятность того, что газ не будет близок к этому распределению, становится все более небольшой). И наконец, все энергетические состояния равновероятны.

Эти статистические данные работают, потому что крайне маловероятно, что какая-либо конкретная частица может получить энергию, значительно превышающую среднюю. Если бы это было так, то оставалось бы гораздо меньше способов для распределения остальной энергии. Это сводится к игре с числами - поскольку существует гораздо больше энергетических состояний, в которых частица не превышает среднего, вероятность того, что система окажется в таком состоянии, исчезающе мала.

Однако энергии ниже среднего более вероятны, опять же из-за того, как разыгрываются вероятности. Поскольку любое движение считается случайным и существует большее количество способов, которыми частица может попасть в состояние с низкой энергией, эти состояния являются предпочтительными.

Распределение Максвелла-Больцмана - это распределение скоростей частиц идеального газа. Эта функция распределения скорости может быть получена из статистики Максвелла-Больцмана и использоваться для получения соотношений между давлением, объемом и температурой.

Распределение скоростиvдается следующей формулой:

Гдемэто масса молекулы.

Соответствующая кривая распределения с функцией распределения скорости нау-оси и молекулярной скорости наИкс-axis выглядит примерно как асимметричная нормальная кривая с более длинным хвостом справа. Имеет пиковое значение при наиболее вероятной скорости.v_п, а средняя скорость определяется по формуле:

Обратите внимание также на то, что у него длинный узкий хвост. Кривая немного меняется при разных температурах, при этом длинный хвост становится «толще» при более высоких температурах.

Используйте отношения:

ГдеE_intэто внутренняя энергия,KE​_{​в среднем​} - средняя кинетическая энергия на молекулу из распределения Максвелла-Больцмана. Вместе с законом идеального газа можно получить соотношение между давлением и объемом с точки зрения молекулярного движения: