Колебания окружают нас повсюду, от макроскопического мира маятников и вибрации струн до микроскопического мира движения электронов в атомах и электромагнитного излучения.
Подобное движение, которое подвергается предсказуемой повторяющейся схеме, известно какпериодическое движениеили жеколебательное движение, и изучение величин, которые позволяют описать любой тип колебательного движения, является ключевым шагом в изучении физики этих систем.
Один конкретный тип периодического движения, который легко описать математически, - этопростые гармонические колебания, но как только вы поймете ключевые концепции, их легко обобщить на более сложные системы.
Периодическое движение
Периодическое движение или просто повторяющееся движение определяется тремя ключевыми величинами: амплитудой, периодом и частотой. Вамплитуда Алюбого периодического движения - это максимальное смещение от положения равновесия (которое вы можете себе представить как положение «покоя», такое как стационарное положение струны или самая нижняя точка маятника. дорожка).
Впериод Тлюбого колебательного движения - это время, за которое объект совершает один «цикл» движения. Например, маятник на часах может совершать один полный цикл каждые две секунды, и поэтому он будетТ= 2 с.
Вчастота ж- это величина, обратная периоду, или, другими словами, количество циклов, завершенных за секунду (или единицу времени,т). Для маятника на часах он совершает половину цикла в секунду, поэтому онж= 0,5 Гц, где 1 герц (Гц) означает одно колебание в секунду.
Простое гармоническое движение (SHM)
Простое гармоническое движение (SHM) - это частный случай периодического движения, где единственная сила - восстанавливающая сила, а движение - простое колебание. Одним из основных свойств SHM является то, что возвращающая сила прямо пропорциональна смещению из положения равновесия.
Возвращаясь к примеру с натянутой струной, чем дальше вы потянете ее из положения покоя, тем быстрее она будет двигаться к ней. Другое важное свойство простого гармонического движения состоит в том, что амплитуда не зависит от частоты и периода движения.
Простейший случай простого гармонического движения - это колебательное движение только в одном направлении (то есть движение вперед и назад), но вы может моделировать другие типы движения (например, круговое движение) как комбинацию нескольких случаев простого гармонического движения в разных направлениях, тоже.
Некоторые примеры простого гармонического движения включают груз на пружине, подпрыгивающий вверх и вниз в результате растяжения или сжатия пружины, маятник с небольшим углом наклона. раскачивание назад и вперед под действием силы тяжести и даже двумерные примеры кругового движения, например, когда ребенок едет на карусели или карусель.
Уравнения движения для простых гармонических осцилляторов.
Как указывалось в предыдущем разделе, существует интересная взаимосвязь между равномерным круговым движением и простым гармоническим движением. Представьте себе точку на окружности, вращающуюся с постоянной скоростью на фиксированной оси, и вы отслеживаетеИкс-координата этой точки на всем протяжении ее кругового движения.
Уравнения, описывающиеИксдолжность,Иксскорость иИксУскорение этой точки описывает движение простого гармонического осциллятора. С использованиемИкс(т) для положения как функции времени,v(т) для скорости как функции времени иа(т) для ускорения как функции времени следующие уравнения:
x (t) = A \ sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \ cos (ωt) \\ a (t) = −Aω ^ 2 \ sin (ωt)
Гдеω- угловая частота (относящаяся к обычной частоте соотношениемω = 2πж) в радианах в секунду, и мы используем времяткак в большинстве уравнений. Как указано в первом разделе,А- амплитуда движения.
Из этих определений вы можете охарактеризовать простое гармоническое движение и колебательное движение в целом. Например, вы можете видеть из синусоидальной функции в уравнениях положения и ускорения, что эти два параметра изменяются вместе, и поэтому максимальное ускорение происходит при максимальном смещении. Уравнение скорости зависит от косинуса, который принимает максимальное (абсолютное) значение ровно посередине между максимальным ускорением (или смещением) вИксили же -Икснаправлении, или, другими словами, в положении равновесия.
Месса на пружине
Закон Гука описывает форму простого гармонического движения пружины и утверждает, что возвращающая сила пружины пропорциональна смещению из положения равновесия (∆Икс, т.е. изменениеИкс) и имеет «коэффициент пропорциональности», называемый жесткостью пружины,k. В символах уравнение гласит:
F_ {пружина} = −k∆x
Отрицательный знак здесь означает, что сила является восстанавливающей силой, которая действует в направлении, противоположном смещению, и измеряется в единицах силы СИ, в ньютонах (Н).
Для массымна пружине максимальное смещение (амплитуда) снова называетсяА, а такжеωопределяется как:
ω = \ sqrt {\ frac {k} {m}}
Это уравнение можно использовать с уравнением положения для простого гармонического движения (чтобы найти положение массы в любое время), а затем подставить вместо ∆Иксв законе Гука, чтобы определить величину восстанавливающей силы в любое времят. Полное соотношение для восстанавливающей силы будет:
F_ {пружина} = −k A \ sin \ bigg (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t \ bigg)
Маятник с малым углом
Для маятника с малым углом возвращающая сила пропорциональна максимальному угловому смещению (т. Е. Отклонению от положения равновесия, выраженному в виде угла). Здесь амплитудаА- максимальный угол маятника иωопределяется как:
ω = \ sqrt {\ frac {g} {L}}
Гдеграмм= 9,81 м / с2 а такжеL- длина маятника. Опять же, это можно подставить в уравнения движения для простого гармонического движения, за исключением того, что следует отметить, чтоИксв этом случае будет относиться кугловатыйсмещение, а не линейное смещение вx-направление. Иногда на это указывают символ тета (θ) вместоИксв таком случае.
Затухающие колебания
Во многих случаях в физике такими сложностями, как трение, пренебрегают, чтобы упростить вычисления в ситуациях, когда они в любом случае, вероятно, будут незначительными. Есть выражения, которые вы можете использовать, если вам нужно рассчитать случай, когда трение становится важным, но ключевой момент Помните, что с учетом трения колебания становятся «затухающими», то есть их амплитуда уменьшается с каждым колебание. Однако период и частота колебаний остаются неизменными даже при наличии трения.
Вынужденные колебания и резонанс
Резонанс в основном противоположен затухающим колебаниям. Все объекты имеют собственную частоту, на которой им «нравится» колебаться, и если колебания вызываются или управляются с этой частотой (периодической силой), амплитуда движения будет увеличиваться. Частота, при которой возникает резонанс, называется резонансной частотой, и, как правило, все объекты имеют свою собственную резонансную частоту, которая зависит от их физических характеристик.
Как и в случае с демпфированием, расчет движения в этих условиях становится более сложным, но это возможно, если вы решаете проблему, которая требует этого. Однако понимания ключевых аспектов поведения объекта в этих ситуациях достаточно для большинство целей, особенно если вы впервые изучаете физику колебания!