Законы движения маятника

Маятники обладают интересными свойствами, которые физики используют для описания других объектов. Например, планетарная орбита следует аналогичной схеме, и при раскачивании на качелях может казаться, что вы находитесь на маятнике. Эти свойства проистекают из ряда законов, управляющих движением маятника. Изучив эти законы, вы сможете начать понимать некоторые из основных принципов физики и движения в целом.

Движение маятника можно описать с помощью

в которомθпредставляет угол между струной и вертикальной линией по центру,тпредставляет время, аТ- период, время, необходимое для того, чтобы произошел один полный цикл движения маятника (измеряется1 / f) движения маятника.

​Простые гармонические колебания, или движение, которое описывает, как скорость объекта колеблется пропорционально величине смещения от равновесия, может использоваться для описания уравнения маятника. Покачивание маятника поддерживается этой силой, действующей на него, когда он движется вперед и назад.

•••Сайед Хуссейн Атер

Законы, управляющие движением маятника, привели к открытию важного свойства. Физики разделяют силы на вертикальную и горизонтальную составляющие. В маятниковом движениитри силы действуют непосредственно на маятник: масса боба, сила тяжести и натяжение тетивы. И масса, и гравитация действуют вертикально вниз. Поскольку маятник не движется вверх или вниз, вертикальная составляющая натяжения струны нейтрализует массу и силу тяжести.

Это показывает, что масса маятника не имеет отношения к его движению, в отличие от горизонтального натяжения струны. Простое гармоническое движение похоже на круговое движение. Вы можете описать объект, движущийся по круговой траектории, как показано на рисунке выше, путем определения угла и радиуса, которые он принимает на соответствующей круговой траектории. Затем, используя тригонометрию прямоугольного треугольника между центром круга, положением объекта и смещением в обоих направлениях x и y, вы можете найти уравнениях = rsin (θ)а такжеу = rcos (θ).​

Одномерное уравнение объекта в простом гармоническом движении задается выражениемx = r cos (ωt).Вы можете дополнительно заменитьАдлярв которомАэтоамплитуда, максимальное смещение от исходного положения объекта.

Угловая скоростьωотносительно временитдля этих угловθдан кем-тоθ = ωt. Если вы подставите уравнение, связывающее угловую скорость с частотойж​, ​ω = 2​​πf, вы можете представить себе это круговое движение, тогда как часть маятника, раскачивающегося взад и вперед, тогда результирующее простое уравнение гармонического движения будет

•••Сайед Хуссейн Атер

Маятники, как массы на пружине, являются примерамипростые гармонические осцилляторы: Существует восстанавливающая сила, которая увеличивается в зависимости от того, насколько смещен маятник, и их движение можно описать с помощьюуравнение простого гармонического осциллятора​

в которомθпредставляет угол между струной и вертикальной линией по центру,тпредставляет время иТэтопериод, время, необходимое для одного полного цикла движения маятника (измеряется1 / f) движения маятника.

​θ_{Максимум}это еще один способ определения максимума угла колебания во время движения маятника и еще один способ определения амплитуды маятника. Этот шаг описан ниже в разделе «Определение простого маятника».

Другое следствие законов простого маятника состоит в том, что период колебаний постоянной длины не зависит от размера, формы, массы и материала объекта на конце струны. Это ясно показано на примере простого маятникового вывода и полученных в результате уравнений.

Вы можете определить уравнение дляпростой маятник, определение, которое зависит от простого гармонического осциллятора, из ряда шагов, начинающихся с уравнения движения маятника. Поскольку сила тяжести маятника равна силе движения маятника, вы можете установить их равными друг другу, используя второй закон Ньютона с массой маятника.M, длина строкиL, уголθ,гравитационное ускорениеграмми временной интервалт​.

•••Сайед Хуссейн Атер

Вы устанавливаете второй закон Ньютона равным моменту инерцииЯ = г-н²для некоторой массыми радиус кругового движения (в данном случае длина струны)румноженное на угловое ускорениеα​.

1. ​ΣF = Ma: Второй закон Ньютона гласит, что чистая силаΣFна объекте равна массе объекта, умноженной на ускорение.
2. ​Ma = I α: Это позволяет вам установить силу ускорения свободного падения (-Mg sin (θ) L)равной силе вращения
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Вы можете определить направление вертикальной силы тяжести (-Mg) путем вычисления ускорения какгрех (θ) Lеслигрех (θ) = d / Lдля некоторого горизонтального смещенияdи уголθ​ учитывать направление.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Вы подставляете уравнение для момента инерции вращающегося тела, используя длину струны L в качестве радиуса.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Учет углового ускорения путем замены второй производной угла по времени наα.Этот шаг требует исчисления и дифференциальных уравнений.
   
6. ​d²θ / dt² + (г / л) sinθ = 0: Вы можете получить это, переставив обе части уравнения
   
7. ​d²θ / dt² + (г / л) θ = 0: Вы можете приблизитьгрех (θ)в видеθдля простого маятника при очень малых углах колебания
   
8. ​θ (t) = θ_{Максимум}cos (т (л / г)²): Уравнение движения имеет это решение. Вы можете проверить это, взяв вторую производную этого уравнения и работая, чтобы получить шаг 7.

Есть и другие способы сделать простой вывод маятника. Поймите значение каждого шага, чтобы увидеть, как они связаны. Вы можете описать простое движение маятника, используя эти теории, но вы также должны принять во внимание другие факторы, которые могут повлиять на простую теорию маятника.

Если сравнить результат этого вывода

к уравнению простого гармонического осцилляторабy, установив их равными друг другу, можно вывести уравнение для периода T:

Обратите внимание, что это уравнение не зависит от массыMмаятника амплитудаθ_{Максимум}, ни в то времят. Это означает, что период не зависит от массы, амплитуды и времени, а зависит от длины струны. Это дает вам краткий способ выразить движение маятника.

Используя уравнение для периода, вы можете изменить уравнение, чтобы получить

и замените 1 секунду наТа также9,8 м / с²дляграммчтобы получитьL =0,0025 м. Имейте в виду, что эти уравнения простой теории маятника предполагают, что длина струны не имеет трения и массы. Чтобы учесть эти факторы, потребуются более сложные уравнения.

Вы можете тянуть маятник назад за уголθчтобы позволить ему качаться вперед и назад, чтобы увидеть, как он колеблется, как пружина. Для простого маятника его можно описать уравнениями движения простого гармонического осциллятора. Уравнение движения хорошо работает для меньших значений угла иамплитуда, максимальный угол, потому что простая модель маятника опирается на приближение, котороегрех (θ)​ ≈ ​θдля некоторого угла маятникаθ.Поскольку значения углов и амплитуд становятся больше, чем примерно 20 градусов, это приближение также не работает.

Попробуй сам. Маятник, раскачивающийся с большим начальным угломθне будет колебаться так часто, чтобы вы могли использовать простой гармонический осциллятор для его описания. Под меньшим начальным угломθмаятник гораздо легче приближается к регулярному колебательному движению. Поскольку масса маятника не влияет на его движение, физики доказали, что все маятники имеют одинаковый период колебаний. углы - угол между центром маятника в его наивысшей точке и центром маятника в его остановленном положении - менее 20 градусов.

Для всех практических целей движения маятника маятник в конечном итоге замедлится и остановится из-за трение между тетивой и ее точкой крепления наверху, а также из-за сопротивления воздуха между маятником и воздухом вокруг него.

Для практических примеров движения маятника период и скорость будут зависеть от типа используемого материала, который вызывает эти примеры трения и сопротивления воздуха. Если вы выполните расчеты теоретического колебательного поведения маятника без учета этих сил, то он будет учитывать бесконечные колебания маятника.

Первый закон Ньютона определяет скорость объектов в ответ на силы. Закон гласит, что если объект движется с определенной скоростью и по прямой линии, он будет продолжать двигаться с этой скоростью по прямой линии бесконечно, пока на него не действует никакая другая сила. Представьте, что вы бросаете мяч прямо вперед - мяч будет вращаться вокруг земли снова и снова, если на него не действуют сопротивление воздуха и сила тяжести. Этот закон показывает, что, поскольку маятник движется из стороны в сторону, а не вверх и вниз, на него не действуют силы вверх и вниз.

Второй закон Ньютона используется для определения результирующей силы на маятник, устанавливая гравитационную силу, равную силе струны, которая тянет вверх на маятник. Уравнивание этих уравнений друг другу позволяет получить уравнения движения маятника.

Третий закон Ньютона гласит, что каждое действие имеет противодействие равной силы. Этот закон работает с первым законом, показывающим, что, хотя масса и гравитация компенсируют вертикальную составляющую вектора натяжения струны, ничто не отменяет горизонтальную составляющую. Этот закон показывает, что силы, действующие на маятник, могут нейтрализовать друг друга.

Физики используют первый, второй и третий законы Ньютона, чтобы доказать, что горизонтальное натяжение струны перемещает маятник без учета массы или силы тяжести. Законы простого маятника следуют идеям трех законов движения Ньютона.