V-ați întrebat vreodată cât de multă apă sau cafea se poate încadra într-una dintre acele aparent nenumărate căni de plastic de unică folosință, de genul care este mai îngust la bază decât la vârf? Cu alte cuvinte, aproape fiecare pahar de hârtie, plastic sau alt tip de unică folosință pe care l-ați văzut sau folosit vreodată? (Pentru a fi corect, unele cupe nu au laturile înclinate și sunt astfel cilindrice, dar acest lucru pare să se aplice doar la permanent cupe.)
Tipul de formă descris mai sus se bazează pe a con, care este rezultatul unei linii care străbate spațiul și trasează o cale curbată, cum ar fi un cerc (în cel mai simplu caz) sau o elipsă. O ceașcă nu este de obicei ascuțită (unele care conțin delicii înghețate sunt), dar este totuși o „bucată” a unui con, vorbind geometric. Acest lucru face ușor, cu răbdare, găsirea volumului.
Volumul unui con
Formula pentru volumul unui con regulat sau drept (adică unul cu bază circulară) este
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Unde r este raza bazei și
s = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Volumul unei cupe conice: prima parte
Spuneți că aveți o ceașcă care are o lățime de 8 centimetri (cm) la bază, 10 cm lată în partea de sus și 15 cm înălțime. Cât lichid poate deține în cm3, numit și mililitri (mL)?
O modalitate de a aborda această problemă este de a desena o secțiune transversală a cupei, adică a ceea ce arată din lateral după ce a fost tăiat exact în jumătate perpendicular pe câmpul vizual. Dacă trageți linii verticale în sus de la cele două puncte în care baza întâlnește părțile laterale până la vârful cupa, acum ați împărțit secțiunea transversală în două triunghiuri dreptunghiulare reflectate egale și a dreptunghi. Triunghiurile au „picioare” lungi de 15 cm și „picioare” scurte de 1 cm (împărțind diferența dintre lățimea bazei și lățimea superioară).
Volumul unei cupe conice: partea a doua
Rețineți ce se întâmplă dacă extindeți laturile cupei din diagramă până la un punct sub bază. De asemenea, extindeți o linie în sus din centrul vârfului spre punctul în care converg aceste linii. (Este posibil să nu aveți spațiu pentru a face ca laturile să se întâlnească și să formeze un triunghi închis, dar să vă apropiați cât de mult puteți)
Datorită principiului triunghiurilor similare, știți că raportul dintre piciorul lung al triunghiurilor de sus (15 cm) și cel al piciorului mic (1 cm) sau 15 la 1, trebuie să fie același cu raportul piciorului mic cu piciorul lung al unuia dintre triunghiurile nou create între baza „cupei” și punct. Deoarece piciorul mic are o valoare de 4 cm, piciorul lung trebuie să fie de 15 ori mai mare sau 60 cm.
Astfel aveți acum de-a face cu secțiunea transversală a unui con cu o înălțime totală de 15 + 60 = 75 cm și o lățime de 10 cm, adică o rază de 5 cm. Volumul acestui con minus volumul conului care se extinde până la baza cupei, care are o înălțime de 60 cm și o lățime de 8 cm (r = 4 cm) dă rezultatul dorit:
\ begin {align} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {mL} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ text {mL} \ end {align}
Astfel, cupa dvs. deține foarte aproape de 1 L (1.000 ml) de lichid.
Calculator volum con și cupă
Consultați Resursele pentru o listă de calculatoare care implică conuri, având diferite combinații inițiale de informații. Alternativ, puteți utiliza o abordare ca cea de mai sus și puteți împărți cupa în diferite forme, apoi utilizați formule mai simple (cum ar fi formula pentru volumul unui cub) în combinații adecvate pentru a găsi totalul volum.