Imaginați-vă că stați în mijlocul unei arene perfect circulare. Te uiți către mulțimile de-a lungul laturilor arenei și-l vezi pe cel mai bun prieten al tău într-un loc și pe profesorul tău de matematică din gimnaziu cu câteva secțiuni. Care este distanța dintre ei și tine? Cât de departe ar trebui să mergi pentru a călători de la locul prietenului tău la locul profesorului? Care sunt măsurile unghiurilor dintre voi? Toate acestea sunt întrebări legate de unghiurile centrale.
A unghiul central este unghiul care se formează atunci când două raze sunt trase de la centrul cercului la marginile sale. În acest exemplu, cele două raze sunt cele două linii de vedere ale tale de la tine, în centrul arenei, către prietenul tău, și linia de vedere către profesor. Unghiul care se formează între aceste două linii este unghiul central. Este unghiul cel mai apropiat de centrul cercului.
Prietenul și profesorul tău sunt așezate de-a lungul circumferinţă sau marginile cercului. Calea de-a lungul arenei care le leagă este o arc.
Găsiți unghiul central din lungimea arcului și circumferința
Există câteva ecuații pe care le puteți folosi pentru a găsi unghiul central. Uneori vei primi lungimea arcului, distanța de-a lungul circumferinței dintre două puncte. (În exemplu, aceasta este distanța pe care ar trebui să o parcurgi în jurul arenei pentru a ajunge de la prietenul tău la profesorul tău.) Relația dintre unghiul central și lungimea arcului este:
(lungimea arcului) ÷ circumferință = (unghi central) ÷ 360 °
Unghiul central va fi în grade.
Această formulă are sens, dacă vă gândiți la asta. Lungimea arcului din lungimea totală din jurul cercului (circumferința) este aceeași proporție ca unghiul arcului din unghiul total al unui cerc (360 de grade).
Pentru a utiliza această ecuație în mod eficient, trebuie să cunoașteți circumferința cercului. Dar puteți utiliza și această formulă pentru a găsi lungimea arcului dacă cunoașteți unghiul central și circumferința. Sau, dacă aveți lungimea arcului și unghiul central, puteți găsi circumferința!
Găsiți unghiul central din lungimea și raza arcului
De asemenea, puteți utiliza raza cercului și lungimea arcului pentru a găsi unghiul central. Apelați măsura unghiului central θ. Atunci:
θ = s÷ r, unde s este lungimea arcului și r este raza. θ se măsoară în radiani.
Din nou, puteți rearanja această ecuație în funcție de informațiile pe care le aveți. Puteți găsi lungimea arcului din rază și unghiul central. Sau puteți găsi raza dacă aveți unghiul central și lungimea arcului.
Dacă doriți lungimea arcului, ecuația arată astfel:
s =θ * r, unde s este lungimea arcului, r este raza și θ este unghiul central în radiani.
Teorema unghiului central
Să adăugăm o întorsătură la exemplul tău în care ești în arenă cu vecinul și profesorul tău. Acum există o a treia persoană pe care o cunoști în arenă: vecinul tău de alături. Și încă un lucru: sunt în spatele tău. Trebuie să vă întoarceți pentru a le vedea.
Vecinul tău este aproximativ peste arena de prietenul tău și de profesorul tău. Din punctul de vedere al vecinului, există un unghi format de linia lor de vedere față de prieten și linia lor de vedere față de profesor. Asta se numește unghi inscripționat. Un unghiul înscris este un unghi format din trei puncte de-a lungul circumferinței unui cerc.
Teorema unghiului central explică relația dintre dimensiunea unghiului central, format de tine, și unghiul înscris, format de aproapele tău. Teorema unghiului central afirmă că unghiul central este de două ori unghiul înscris. (Aceasta presupune că utilizați aceleași puncte finale. Vă uitați amândoi la profesor și la prieten, nu la nimeni altcineva).
Iată un alt mod de a-l scrie. Să numim scaunul prietenului tău A, scaunul profesorului tău B și scaunul vecinului tău C. Tu, în centru, poți fi O.
Deci, pentru trei puncte A, B și C de-a lungul circumferinței unui cerc și punctul O în centru, unghiul central ∠AOC este de două ori unghiul înscris ∠ABC.
Acesta este, ∠AOC = 2∠ABC.
Acest lucru are ceva sens. Ești mai aproape de prieten și de profesor, așa că pentru tine se uită mai departe (un unghi mai mare). Pentru vecinul tău de cealaltă parte a stadionului, ei arată mult mai aproape unul de altul (un unghi mai mic).
Excepție de la teorema unghiului central
Acum, să schimbăm lucrurile. Vecinul tău din partea îndepărtată a arenei începe să se miște! Au încă o linie de vedere pentru prieten și profesor, dar liniile și unghiurile continuă să se schimbe pe măsură ce vecinul se mișcă. Ghici ce: Atâta timp cât vecinul rămâne în afara arcului dintre prieten și vecin, teorema unghiului central este încă valabilă!
Dar ce se întâmplă când se mută vecinul între prietenul și profesorul? Acum vecinul tău este în interiorul arc minor, distanța relativ mică între prieten și profesor comparativ cu distanța mai mare în jurul restului arenei. Apoi ajungeți la o excepție de la teorema unghiului central.
excepție de la teorema unghiului central afirmă că atunci când punctul C, vecinul, se află în interiorul arcului minor, unghiul înscris este suplimentul a jumătate din unghiul central. (Amintiți-vă că un unghi și supliment adăugați la 180 de grade.)
Asa de: unghiul inscris = 180 - (unghiul central ÷ 2)
Sau: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizați
Math Open Reference are un instrument pentru a vizualiza teorema unghiului central și excepția sa. Trebuie să trageți „vecinul” în toate părțile diferite ale cercului și să urmăriți cum se schimbă unghiurile. Încercați dacă doriți o practică vizuală sau suplimentară!