Odată ce ați început să rezolvați ecuații algebrice care implică polinoame, capacitatea de a recunoaște forme speciale, ușor de luat în considerare a polinoamelor devine foarte utilă. Unul dintre cele mai utile polinomii „cu factor ușor” de identificat este pătratul perfect sau trinomul care rezultă din pătratarea unui binom. Odată ce ați identificat un pătrat perfect, includerea acestuia în componentele sale individuale este adesea o parte vitală a procesului de rezolvare a problemelor.
Înainte de a putea factoriza un trinom pătrat perfect, trebuie să învățați să îl recunoașteți. Un pătrat perfect poate lua oricare dintre cele două forme
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, care este produsul lui} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, care este produsul lui} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Verificați primul și al treilea termen al trinomului. Sunt ambele pătrate? Dacă da, dați seama de ce sunt pătrate. De exemplu, în al doilea exemplu „lumea reală” dat mai sus:
y ^ 2 - 2y + 1
termenuly2 este evident pătratul luiy.Termenul 1 este, poate mai puțin evident, pătratul lui 1, deoarece 12 = 1.
Înmulțiți rădăcinile primului și celui de-al treilea termen împreună. Pentru a continua exemplul, asta esteyși 1, care vă oferăy × 1 = 1ysau pur și simpluy.
Apoi, înmulțiți produsul cu 2. Continuând exemplul, aveți 2y.
În cele din urmă, comparați rezultatul ultimului pas cu termenul mediu al polinomului. Se potrivesc? În polinomy2 – 2y+ 1, da. (Semnul este irelevant; ar fi, de asemenea, o potrivire dacă termenul mediu ar fi +2y.)
Deoarece răspunsul din Pasul 1 a fost „da”, iar rezultatul dvs. din Pasul 2 se potrivește cu termenul mediu al polinomului, știți că vă uitați la un trinom pătrat perfect.
Odată ce știi că te uiți la un trinom pătrat perfect, procesul de factoring este destul de simplu.
Identificați rădăcinile sau numerele pătrate, în primul și al treilea termen al trinomului. Luați în considerare un alt exemplu de trinomii pe care îl știți deja că este un pătrat perfect:
x ^ 2 + 8x + 16
Evident, numărul care este pătrat în primul termen esteX. Numărul pătrat în al treilea termen este 4, deoarece 42 = 16.
Gândește-te la formulele pentru trinomii pătrate perfecte. Știți că factorii dvs. vor lua fie forma (A + b)(A + b) sau formularul (A – b)(A – b), UndeAșibsunt numerele pătrate în primul și al treilea termen. Deci, puteți scrie factorii astfel, omițând semnele din mijlocul fiecărui termen pentru moment:
(A \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Pentru a continua exemplul înlocuind rădăcinile trinomului dvs. actual, aveți:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Verificați termenul mediu al trinomului. Are semn pozitiv sau negativ (sau, altfel spus, se adaugă sau se scade)? Dacă are un semn pozitiv (sau se adaugă), atunci ambii factori ai trinomului au un semn plus în mijloc. Dacă are un semn negativ (sau este scăzut), ambii factori au un semn negativ în mijloc.
Termenul mediu al exemplului curent trinomial este 8X- este pozitiv - deci acum ați luat în calcul trinomul pătrat perfect:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Verifică-ți munca înmulțind cei doi factori împreună. Aplicarea FOIL sau a primei metode exterioare, interioare, ultime vă oferă:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Simplificarea acestui lucru dă rezultatulX2 + 8X+ 16, care se potrivește cu trinomul tău. Deci factorii sunt corecți.