Cum se rezolvă sisteme de ecuații prin grafic

Sistemele de ecuații pot ajuta la rezolvarea întrebărilor din viața reală din toate tipurile de domenii, de la chimie la afaceri până la sport. Rezolvarea lor nu este importantă doar pentru notele de matematică; vă poate economisi mult timp indiferent dacă încercați să vă stabiliți obiective pentru afacerea dvs. sau pentru echipa dvs. sportivă.

TL; DR (Prea lung; Nu am citit)

Pentru a rezolva un sistem de ecuații prin grafic, graficați fiecare linie pe același plan de coordonate și vedeți unde se intersectează.

De exemplu, imaginați-vă că dvs. și prietenul dvs. instalați un stand de limonadă. Decizi să împarte și să cucerești, așa că prietenul tău merge la terenul de baschet din cartier în timp ce stai la colțul străzii familiei tale. La sfârșitul zilei, vă puneți în comun banii. Împreună, ați câștigat 200 de dolari, dar prietenul dvs. a câștigat cu 50 de dolari mai mult decât dvs. Câți bani ați câștigat fiecare dintre voi?

Sau gândiți-vă la baschet: împușcăturile făcute în afara liniei de 3 puncte valorează 3 puncte, coșurile făcute în interiorul liniei de 3 puncte valorează 2 puncte și aruncările libere valorează doar 1 punct. Adversarul tău este cu 19 puncte înaintea ta. Ce combinații de coșuri ați putea face pentru a ajunge din urmă?

Graficarea este una dintre cele mai simple modalități de a rezolva sisteme de ecuații. Tot ce trebuie să faceți este să graficați ambele linii pe același plan de coordonate și apoi să vedeți unde se intersectează.

În primul rând, trebuie să scrieți cuvântul problemă ca sistem de ecuații. Atribuiți variabile necunoscutelor. Sunați banii pe care îi facețiDa, și banii pe care îi câștigă prietenul tăuF​.

Acum aveți două tipuri de informații: informații despre câți bani ați câștigat împreună și informații despre modul în care ați câștigat bani în comparație cu banii câștigați de prietenul dvs. Fiecare dintre acestea va deveni o ecuație.

Pentru prima ecuație, scrieți:

deoarece banii tăi plus banii prietenului tău se ridică la 200 USD.

Apoi, scrieți o ecuație pentru a descrie comparația dintre câștigurile dvs.

pentru că suma pe care ai făcut-o este cu 50 de dolari mai mică decât cea pe care a făcut-o prietenul tău. Ați putea scrie, de asemenea, această ecuație caDa​ + 50 = ​F, deoarece ceea ce ai câștigat plus 50 de dolari este egal cu ceea ce a făcut prietenul tău. Acestea sunt moduri diferite de a scrie același lucru și nu vă vor schimba răspunsul final.

Deci sistemul de ecuații arată astfel:

Apoi, trebuie să graficați ambele ecuații pe același plan de coordonate. Graficează-ți suma,Da, pey-axi și suma prietenului tău,F, peX-axi (de fapt nu contează care este, atâta timp cât le etichetați corect). Puteți utiliza hârtie milimetrică și un creion, un calculator grafic portabil sau un calculator grafic online.

În prezent, o ecuație este în formă standard și una este în formă de interceptare a pantei. Aceasta nu este o problemă, în mod necesar, dar, din motive de consistență, obțineți ambele ecuații în formă de interceptare a pantei.

Deci, pentru prima ecuație, convertiți de la forma standard la forma de interceptare a pantei. Asta înseamnă rezolvare pentruDa; cu alte cuvinte, obțineDade la sine în partea stângă a semnului egal. Deci scadeFdin ambele părți:

Amintiți-vă că în forma interceptării pantei, numărul din fața lui F este panta și constanta este interceptarea y.

Pentru a grafica prima ecuație,Da​ = −​F+ 200, trasează un punct la (0, 200), apoi folosește panta pentru a găsi mai multe puncte. Panta este -1, deci coborâți o unitate și peste o unitate și trageți un punct. Aceasta creează un punct la (1, 199) și, dacă repetați procesul începând cu acel punct, veți obține un alt punct la (2, 198). Acestea sunt mișcări minuscule pe o linie mare, așa că atrageți încă un punct laX-intercept pentru a vă asigura că aveți lucruri bine graficate pe termen lung. DacăDa= 0, apoiFva fi 200, deci atrageți un punct la (200, 0).

Pentru a grafica a doua ecuație,Da​ = ​F- 50, utilizați interceptarea y a −50 pentru a desena primul punct la (0, −50). Deoarece panta este 1, începeți de la (0, -50), apoi urcați o unitate și peste o unitate. Asta te pune la (1, -49). Repetați procesul începând de la (1, -49) și veți obține un al treilea punct la (2, -48). Din nou, pentru a vă asigura că faceți lucrurile cu îngrijire pe distanțe lungi, verificați-vă, de asemenea, trasând înX-intercepta. CandDa​ = 0, ​Fva fi 50, deci atrageți și un punct la (50, 0). Desenați o linie îngrijită care leagă aceste puncte.

Aruncați o privire atentă la graficul dvs. pentru a vedea unde se intersectează cele două linii. Aceasta va fi soluția, deoarece soluția unui sistem de ecuații este punctul (sau punctele) care fac ca ambele ecuații să fie adevărate. Pe un grafic, acesta va arăta ca punctul (sau punctele) în care cele două linii se intersectează.

În acest caz, cele două linii se intersectează la (125, 75). Deci, soluția este ca prietenul tău (X-coordonat) a câștigat 125 $ și tu (they-coordonat) a câștigat 75 USD.

Verificare logică rapidă: are sens? Împreună, cele două valori se adaugă la 200, iar 125 este cu 50 mai mult decât 75. Sună bine.

În acest caz, a existat exact un punct în care s-au încrucișat cele două linii. Când lucrați cu sisteme de ecuații, există trei rezultate posibile și fiecare va arăta diferit pe un grafic.

• Dacă sistemul are o singură soluție, liniile se vor intersecta într-un singur punct, așa cum au făcut-o în exemplu.
• Dacă sistemul nu are soluții, liniile nu vor trece niciodată. Ele vor fi paralele, ceea ce, în termeni algebrici, înseamnă că vor avea aceeași pantă.
• Sistemul poate avea, de asemenea, soluții infinite, ceea ce înseamnă că „cele două” linii sunt de fapt aceeași linie. Deci, ei vor avea fiecare punct comun în comun, care este un număr infinit de soluții.