Ecuația unui plan în spațiul tridimensional poate fi scrisă în notație algebrică ca ax + cu + cz = d, unde cel puțin una dintre constantele de număr real "a", "b" și "c" nu trebuie să fie zero, iar "x", "y" și "z" reprezintă axele tridimensionale avion. Dacă sunt date trei puncte, puteți determina planul folosind produse transversale vectoriale. Un vector este o linie în spațiu. Un produs încrucișat este multiplicarea a doi vectori.
Ia cele trei puncte din avion. Etichetați-le „A”, „B” și „C.” De exemplu, să presupunem că aceste puncte sunt A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); și C = (1, 3, 4).
Găsiți doi vectori diferiți pe plan. În exemplu, alegeți vectorii AB și AC. Vectorul AB trece de la punctul-A la punctul-B, iar vectorul AC merge de la punctul-A la punctul-C. Deci scade fiecare coordonată din punctul-A din fiecare coordonată din punctul-B pentru a obține vectorul AB: (-2, 3, 1). În mod similar, vectorul AC este punctul-C minus punctul-A sau (-2, 2, 3).
Calculați produsul încrucișat al celor doi vectori pentru a obține un nou vector, care este normal (sau perpendicular sau ortogonal) la fiecare dintre cei doi vectori și, de asemenea, la plan. Produsul încrucișat al a doi vectori, (a1, a2, a3) și (b1, b2, b3), este dat de N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). În exemplu, produsul încrucișat, N, al AB și AC este i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], care simplifică la N = 7i + 4j + 2k. Rețineți că „i”, „j” și „k” sunt folosite pentru a reprezenta coordonatele vectoriale.
Derivați ecuația planului. Ecuația planului este Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, unde (a1, a2, a3) este orice punct din plan și (Ni, Nj, Nk ) este vectorul normal, N. În exemplu, folosind punctul C, care este (1, 3, 4), ecuația planului este 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, ceea ce simplifică la 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 sau 7x + 4y + 2z = 27.
Verifică-ți răspunsul. Înlocuiți punctele originale pentru a vedea dacă satisfac ecuația planului. Pentru a încheia exemplul, dacă înlocuiți oricare dintre cele trei puncte, veți vedea că ecuația planului este într-adevăr satisfăcută.
sfaturi
Consultați Resurse pentru sfaturi despre cum să utilizați sisteme de trei ecuații simultane pentru a găsi ecuația unui plan.