Nimic nu încurcă o ecuație asemănătoare logaritmilor. Sunt greoaie, dificil de manipulat și puțin misterioase pentru unii oameni. Din fericire, există o modalitate ușoară de a scăpa ecuația de aceste expresii matematice plictisitoare. Tot ce trebuie să faceți este să vă amintiți că un logaritm este inversul unui exponent. Deși baza unui logaritm poate fi orice număr, cele mai comune baze utilizate în știință sunt 10 și e, care este un număr irațional cunoscut sub numele de Euler. Pentru a le distinge, matematicienii folosesc „log” când baza este 10 și „ln” când baza este e.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Pentru a elimina o ecuație de logaritmi, ridicați ambele părți la același exponent ca baza logaritmilor. În ecuații cu termeni amestecați, colectați toate logaritmii pe o parte și simplificați mai întâi.
Ce este un logaritm?
Conceptul de logaritm este simplu, dar este puțin dificil de exprimat în cuvinte. Un logaritm este de câte ori trebuie să înmulțiți un număr singur pentru a obține un alt număr. O altă modalitate de a spune este că un logaritm este puterea la care trebuie crescut un anumit număr - numit bază - pentru a obține un alt număr. Puterea se numește argumentul logaritmului.
De exemplu, jurnal82 = 64 înseamnă pur și simplu că ridicarea 8 la puterea lui 2 dă 64. În jurnalul de ecuații X = 100, baza se înțelege a fi 10 și puteți rezolva cu ușurință argumentul, X deoarece răspunde la întrebarea „10 ridicat la ce putere este egală cu 100?” Răspunsul este 2.
Un logaritm este inversul unui exponent. Jurnalul ecuației X = 100 este un alt mod de a scrie 10_X_ = 100. Această relație face posibilă îndepărtarea logaritmilor dintr-o ecuație prin ridicarea ambelor părți la același exponent ca baza logaritmului. Dacă ecuația conține mai multe logaritmi, trebuie să aibă aceeași bază pentru ca aceasta să funcționeze.
Exemple
În cel mai simplu caz, logaritmul unui număr necunoscut este egal cu un alt număr:
\ log x = y
Ridicați ambele părți la exponenți de 10 și veți obține
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
Din 10(jurnal x) este pur și simplu X, ecuația devine
x = 10 ^ y
Când toți termenii din ecuație sunt logaritmi, ridicarea ambelor părți la un exponent produce o expresie algebrică standard. De exemplu, ridicați
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
la o putere de 10 și veți obține:
x ^ 2 - 1 = x + 1
ceea ce simplifică la
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Soluțiile sunt X = −2; X = 1.
În ecuațiile care conțin un amestec de logaritmi și alți termeni algebrici, este important să colectăm toți logaritmii pe o parte a ecuației. Apoi puteți adăuga sau scădea termeni. Conform legii logaritmilor, sunt adevărate următoarele:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Iată o procedură pentru rezolvarea unei ecuații cu termeni amestecați:
Începeți cu ecuația: De exemplu
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Rearanjați termenii:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Aplicați legea logaritmilor:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Ridicați ambele părți la o putere de 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Rezolvă pentru X:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002
